Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

116
Çàäà÷à îá îòûñêàíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé òåíçîðà Ò ðåøàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöó [a
ij
] òåíçîðà Ò â äàííîì áàçèñå íà
âåêòîð
ρ
x
ïî ïðàâèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö», ïîëó÷àåì èç îïåðàòîð-
íîãî óðàâíåíèÿ (5.3) ñèñòåìó:
() ,
() ,
().
axaxax
ax a x ax
ax ax a x
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
0
0
0
−+ + =
+− + =
++−=
λ
λ
λ
(5.4)
Ýòà ñèñòåìà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ò. å. x
1
, x
2
, x
3
, íå ðàâ-
íûå íóëþ îäíîâðåìåííî, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:
()
()
()
.
aaa
aa a
aaa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
−
−
−
=
λ
λ
λ
(5.5)
Åñëè òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, òî âñå òðè êîðíÿ
óðàâíåíèÿ (5.5) ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè, à òðè ñîîòâåòñòâó-
þùèå ãëàâíûå îñè (òðè ñîáñòâåííûõ âåêòîðà) òåíçîðà Ò âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíû. Äàëåå âåçäå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ôè-
çè÷åñêè âàæíûé âàðèàíò, êîãäà òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷-
íûì, ò. å. a
ij
=a
ji
. Îïðåäåëèâ èç óðàâíåíèÿ (5.5) òðè ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ λ
1
, λ
2
è λ
3
(âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå èç íèõ èëè äàæå
âñå òðè áóäóò îäèíàêîâûìè) è ïîäñòàâèâ èõ ïîî÷åðåäíî â ñèñòå-
ìó (5.4), íàéäåì äëÿ êàæäîãî èç íèõ êîìïîíåíòû ñîáñòâåííûõ
âåêòîðîâ. Íîðìèðîâêà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äàñò îðòîíîðìèðî-
âàííûé áàçèñ
(, ,)
ρρρ
′′′
eee
123
ãëàâíûõ îñåé òåíçîðà Ò.
 áàçèñå ãëàâíûõ îñåé ìàòðèöà òåíçîðà Ò ÿâëÿåòñÿ äèàãî-
íàëüíîé, ïðè÷åì íà åå ãëàâíîé äèàãîíàëè íàõîäÿòñÿ ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà Ò.
Ãëàâíûå îñè ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè
îñÿìè íåêîòîðîé öåíòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè 2-ãî ïîðÿäêà; åå óðàâ-
íåíèå â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé
(, ,)
′′′
xxx
123
íàçûâàåòñÿ
êàíîíè÷åñêèì:
λλλ
11
2
22
2
33
2
1
′
+
′
+
′
=xxx
.
     Çàäà÷à îá îòûñêàíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé òåíçîðà Ò ðåøàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
     Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöó [aij] òåíçîðà Ò â äàííîì áàçèñå íà
       ρ
âåêòîð x ïî ïðàâèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö», ïîëó÷àåì èç îïåðàòîð-
íîãî óðàâíåíèÿ (5.3) ñèñòåìó:

                 ( a11 − λ )x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0,
                
                a 21 x1 + (a 22 − λ ) x2 + a 23 x3 = 0,           (5.4)
                 a x + a x + ( a − λ ) x = 0.
                 31 1       32 2       33        3

Ýòà ñèñòåìà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ò. å. x1, x2, x3, íå ðàâ-
íûå íóëþ îäíîâðåìåííî, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:

               ( a11 − λ )       a12             a13
                  a 21       ( a 22 − λ )        a 23       = 0.
                                                                   (5.5)
                  a 31           a 32        ( a 33 − λ )
     Åñëè òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, òî âñå òðè êîðíÿ
óðàâíåíèÿ (5.5) ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè, à òðè ñîîòâåòñòâó-
þùèå ãëàâíûå îñè (òðè ñîáñòâåííûõ âåêòîðà) òåíçîðà Ò âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíû. Äàëåå âåçäå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ôè-
çè÷åñêè âàæíûé âàðèàíò, êîãäà òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷-
íûì, ò. å. aij = aji . Îïðåäåëèâ èç óðàâíåíèÿ (5.5) òðè ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ λ1, λ2 è λ3 (âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå èç íèõ èëè äàæå
âñå òðè áóäóò îäèíàêîâûìè) è ïîäñòàâèâ èõ ïîî÷åðåäíî â ñèñòå-
ìó (5.4), íàéäåì äëÿ êàæäîãî èç íèõ êîìïîíåíòû ñîáñòâåííûõ
âåêòîðîâ. Íîðìèðîâêà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äàñò îðòîíîðìèðî-
                ρ ρ ρ
âàííûé áàçèñ ( e1′ , e2′ , e3′ ) ãëàâíûõ îñåé òåíçîðà Ò.
     Â áàçèñå ãëàâíûõ îñåé ìàòðèöà òåíçîðà Ò ÿâëÿåòñÿ äèàãî-
íàëüíîé, ïðè÷åì íà åå ãëàâíîé äèàãîíàëè íàõîäÿòñÿ ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà Ò.
     Ãëàâíûå îñè ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè
îñÿìè íåêîòîðîé öåíòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè 2-ãî ïîðÿäêà; åå óðàâ-
íåíèå â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé ( x1′ , x2′ , x3′ ) íàçûâàåòñÿ
êàíîíè÷åñêèì:

                    λ1 x1′ 2 + λ 2 x2′ 2 + λ 3 x3′ 2 = 1.

                                    116

Страницы