Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

118
íûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ =1:
{}
ρ
′
=−
e
1
1
2
11,.
Ïðè λ = 3 ñèñòåìà (5.4) ïðèíèìàåò âèä:
−+=
−=
xx
xx
12
12
0
0
,
,
îòêóäà, íàïðèìåð, x
1
= 1, x
2
=1 è
{}
ρ
′
=
e
2
1
2
11,.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
ρρ
′
⋅
′
=ee
12
0,
ò. å. ñîáñòâåííûå âåêòîðû òåí-
çîðà Ò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Ïîñêîëüêó ìû ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå íîâûõ îðò
(, )
ρρ
′′
ee
12
ïî
ñòàðîìó áàçèñó
(, )
ρρ
ee
12
, òî ñ ó÷åòîì (5.1) ìàòðèöà à ïðåîáðàçî-
âàíèÿ áàçèñà
(, )
ρρ
ee
12
â áàçèñ
(, )
ρρ
′′
ee
12
èìååò âèä:
Г =
−
1
2
1
2
1
2
1
2
.
Èç ðàçëîæåíèé íîâûõ îðò ïî ñòàðîìó áàçèñó âèäíî, ÷òî
áàçèñ
(, )
ρρ
′′
ee
12
ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî
(, )
ρρ
ee
12
íà 45°
ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Ìàòðèöà òåíçîðà Ò â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé áóäåò èìåòü âèä:
[] .
′
=
a
ij
10
03
Èòàê, òåíçîð
T =
21
12
óäëèíÿåò âåêòîð
{}
ρ
′
=−
x
1
11,
(èëè
ρ
′
e
1
) â 1 ðàç áåç ïîâîðîòà, à âåêòîð
{}
ρ
′
=
x
2
11,
(èëè
ρ
′
e
2
) â 3 ðàçà
áåç åãî ïîâîðîòà:
íûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ = 1:
ρ     1
e1′ =    {1,−1}. Ïðè λ = 3 ñèñòåìà (5.4) ïðèíèìàåò âèä:
       2

                             − x1 + x2 = 0,
                             
                              x1 − x2 = 0,

                                          ρ        1
îòêóäà, íàïðèìåð, x1 = 1, x2 = 1 è e2′ =              {1,1}.
                                                    2
                           ρ ρ
     Ëåãêî âèäåòü, ÷òî e1′ ⋅ e2′ = 0, ò. å. ñîáñòâåííûå âåêòîðû òåí-
çîðà Ò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
                                                                 ρ ρ
     Ïîñêîëüêó ìû ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå íîâûõ îðò ( e1′ , e2′ ) ïî
                    ρ ρ
ñòàðîìó áàçèñó ( e1 , e 2 ) , òî ñ ó÷åòîì (5.1) ìàòðèöà à ïðåîáðàçî-
                 ρ ρ                    ρ ρ
âàíèÿ áàçèñà ( e1 , e 2 ) â áàçèñ ( e1′ , e2′ ) èìååò âèä:

                                  1           1 
                                         −
                           Г=      2           2 .
                                   1          1 
                                                 
                                  2          2 
     Èç ðàçëîæåíèé íîâûõ îðò ïî ñòàðîìó áàçèñó âèäíî, ÷òî
        ρ ρ                                                    ρ ρ
áàçèñ ( e1′ , e2′ ) ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî ( e1 , e 2 ) íà 45°
ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
     Ìàòðèöà òåíçîðà Ò â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé áóäåò èìåòü âèä:

                                         1 0
                             [ a ij′ ] =     .
                                          0 3

                         2 1                     ρ
     Èòàê, òåíçîð T =         óäëèíÿåò âåêòîð x1′ = {1,−1} (èëè
                      1     2
ρ                                    ρ                ρ
e1′ ) â 1 ðàç áåç ïîâîðîòà, à âåêòîð x2′ = {1,1} (èëè e2′ ) â 3 ðàçà
áåç åãî ïîâîðîòà:


                                    118

Страницы