Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

117
Åñëè λ
1
,
λ
2
è λ
3
ïîëîæèòåëüíû (âàðèàíò, íàèáîëåå âàæíûé â
ôèçèêå), òî ýòà ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì ñ ïîëóîñÿìè
aa a
112 233
111
===
/, /, /:
λλλ
′
+
′
+
′
=
x
a
x
a
x
a
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
1.
Ïðè λ
1
=λ
2
— ýòî ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ âîêðóã îñè x′
3
; ïðè
λ
1
= λ
2
= λ
3
= l ýëëèïñîèä âûðîæäàåòñÿ â ñôåðó ðàäèóñîì
R= 1/
λ
.
Ïðèìåð. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå
(, )
ρρ
ee
12
ìàòðèöà òåí-
çîðà Ò èìååò âèä:
[] .a
ij
=
21
12
Íàéòè íîâûé îðòîíîðìèðîâàí-
íûé áàçèñ, â êîòîðîì ýòà ìàòðèöà áóäåò äèàãîíàëüíîé, è çàïè-
ñàòü åå. Èçîáðàçèòü íàïðàâëåíèÿ íîâûõ îðò â ñòàðîì áàçèñå (ãëàâ-
íûå îñè òåíçîðà Ò ); çàïèñàòü ìàòðèöó Ã ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà;
çàïèñàòü óðàâíåíèå òåíçîðíîãî ýëëèïñîèäà (â äàííîì ñëó÷àå —
ýëëèïñà) â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé.
Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå (5.5), íàçûâàåìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì,
äëÿ äàííîãî òåíçîðà èìååò âèä:
()
()
21
12
0
−
−
=
λ
λ
,
èëè
λλ
2
430
−+=
.
Êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ: λ
1
= 1, λ
2
= 3. Ïðè λ = 1 ñèñòåìà (5.4)
ïðèíèìàåò âèä:
xx
xx
12
12
0
0
+=
+=
,
.
 êà÷åñòâå åå ðåøåíèÿ ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, òàêîå: x
1
=1,
x
2
= -1. Íîðìèðóÿ ýòî ðåøåíèå, íàõîäèì åäèíè÷íûé ñîáñòâåí-
    Åñëè λ1, λ2 è λ3 ïîëîæèòåëüíû (âàðèàíò, íàèáîëåå âàæíûé â
ôèçèêå), òî ýòà ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì ñ ïîëóîñÿìè
a 1 = 1 / λ1 , a 2 = 1 / λ 2 , a 3 = 1 / λ 3 :

                         x1′ 2       x2′ 2       x3′ 2
                                 +           +           = 1.
                          a12        a 22        a 32
Ïðè λ1 = λ2 — ýòî ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ âîêðóã îñè x′3 ; ïðè
λ1 = λ 2 = λ 3 = l ýëëèïñîèä âûðîæäàåòñÿ â ñôåðó ðàäèóñîì
R= 1/ λ .
                                                                ρ ρ
      Ïðèìåð. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ( e1 , e2 ) ìàòðèöà òåí-

                              2 1
çîðà Ò èìååò âèä: [ a ij ] =        . Íàéòè íîâûé îðòîíîðìèðîâàí-
                             1  2
íûé áàçèñ, â êîòîðîì ýòà ìàòðèöà áóäåò äèàãîíàëüíîé, è çàïè-
ñàòü åå. Èçîáðàçèòü íàïðàâëåíèÿ íîâûõ îðò â ñòàðîì áàçèñå (ãëàâ-
íûå îñè òåíçîðà Ò ); çàïèñàòü ìàòðèöó Ã ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà;
çàïèñàòü óðàâíåíèå òåíçîðíîãî ýëëèïñîèäà (â äàííîì ñëó÷àå —
ýëëèïñà) â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé.
      Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå (5.5), íàçûâàåìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì,
äëÿ äàííîãî òåíçîðà èìååò âèä:

                         (2 − λ )                1
                                                         = 0,
                             1           (2 − λ )
èëè

                            λ 2 − 4λ + 3 = 0.
Êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ: λ1 = 1, λ2 = 3. Ïðè λ = 1 ñèñòåìà (5.4)
ïðèíèìàåò âèä:

                                 x1 + x2 = 0,
                                 
                                  x1 + x2 = 0.
 êà÷åñòâå åå ðåøåíèÿ ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, òàêîå: x1 = 1,
x2 = -1. Íîðìèðóÿ ýòî ðåøåíèå, íàõîäèì åäèíè÷íûé ñîáñòâåí-



                                        117

Страницы