Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

115
5.15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ÷èñëà [a
ij
] îáðàçóþò ñèììåòðè÷-
íûé, à ÷èñëà [b
ij
] — àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîðû, òî
ñóììà
Sab
ij ij
ji
==
∑∑
0.
5.16. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå
(, )
ρρ
ee
12
ìàòðèöà òåíçî-
ðà Ò èìååò âèä:
[] .a
ij
=
62
23
Íàéòè ìàòðèöó [a′
ij
]
ýòîãî òåíçîðà â áàçèñå
(, )
ρρ
′′
ee
12
, ïîâåðíóòîì íà óãîë
α = 45° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îòíîñèòåëüíî èñõîä-
íîãî.
5.17. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå
(, )
ρρ
ee
12
ìàòðèöà òåíçî-
ðà Ò èìååò âèä:
[] .a
ij
=
02
23
Íàéòè ìàòðèöó [a´
ij
]
ýòîãî òåíçîðà â áàçèñå
(, )
ρρ
′′
ee
12
, ïîâåðíóòîì íà óãîë
α = 90° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îòíîñèòåëüíî
èñõîäíîãî.
5.2. Ãëàâíûå îñè òåíçîðà
Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûé
îïåðàòîð. Äåéñòâóÿ íà êàêîé-ëèáî âåêòîð
ρ
x
, îí ïîðîæäàåò íî-
âûé âåêòîð
ρ
y
, îòëè÷àþùèéñÿ îò
ρ
x
êàê ïî âåëè÷èíå, òàê è ïî
íàïðàâëåíèþ:
ρρ
yTx=
. Îäíàêî ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òàêèå âåêòîðû
ρ
x
, êîòîðûå ïîä äåéñòâèåì íà íèõ òåíçîðà Ò íå ìåíÿþòñÿ ïî
íàïðàâëåíèþ, à òîëüêî ïî âåëè÷èíå, ò. å. òàêèå, äëÿ êîòîðûõ
Tx x
ρρ
=
λ
,
(5.3)
ãäå λ — íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ òåíçîðà Ò ñóùåñòâóþò âåêòîðû
ρ
x
, óäîâ-
ëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (5.3), òî îíè íàçûâàþòñÿ ñîá-
ñòâåííûìè âåêòîðàìè òåíçîðà Ò. ×èñëà λ, ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ñîáñòâåííûì âåêòîðàì â çàäà÷å (5.3), íà-
çûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè òåíçîðà Ò.
     5.15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ÷èñëà [aij] îáðàçóþò ñèììåòðè÷-
           íûé, à ÷èñëà [bij] — àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîðû, òî
           ñóììà S = ∑ ∑ a ij bij = 0.
                        i   j
                                             ρ ρ
     5.16. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ( e1 , e2 ) ìàòðèöà òåíçî-

                                   6 2
           ðà Ò èìååò âèä: [ a ij ] =         . Íàéòè ìàòðèöó [a′ij]
                                      2   3
                                    ρ ρ
           ýòîãî òåíçîðà â áàçèñå ( e1′ , e2′ ) , ïîâåðíóòîì íà óãîë
           α = 45° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îòíîñèòåëüíî èñõîä-
           íîãî.
                                             ρ ρ
     5.17. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ( e1 , e2 ) ìàòðèöà òåíçî-

                                   0 2
           ðà Ò èìååò âèä: [ a ij ] =        . Íàéòè ìàòðèöó [a´ij]
                                      2  3
                                    ρ ρ
           ýòîãî òåíçîðà â áàçèñå ( e1′ , e2′ ) , ïîâåðíóòîì íà óãîë
           α = 90° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îòíîñèòåëüíî
           èñõîäíîãî.

                    5.2. Ãëàâíûå îñè òåíçîðà
    Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûé
                                        ρ
îïåðàòîð. Äåéñòâóÿ íà êàêîé-ëèáî âåêòîð x , îí ïîðîæäàåò íî-
            ρ                           ρ
âûé âåêòîð y , îòëè÷àþùèéñÿ îò x êàê ïî âåëè÷èíå, òàê è ïî
                ρ   ρ
íàïðàâëåíèþ: y = Tx . Îäíàêî ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òàêèå âåêòîðû
ρ
x , êîòîðûå ïîä äåéñòâèåì íà íèõ òåíçîðà Ò íå ìåíÿþòñÿ ïî
íàïðàâëåíèþ, à òîëüêî ïî âåëè÷èíå, ò. å. òàêèå, äëÿ êîòîðûõ
                                 ρ    ρ
                                Tx = λx,                      (5.3)
ãäå λ — íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
                                                    ρ
Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ òåíçîðà Ò ñóùåñòâóþò âåêòîðû x , óäîâ-
           ëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (5.3), òî îíè íàçûâàþòñÿ ñîá-
           ñòâåííûìè âåêòîðàìè òåíçîðà Ò. ×èñëà λ, ñîîòâåò-
           ñòâóþùèå ñîáñòâåííûì âåêòîðàì â çàäà÷å (5.3), íà-
           çûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè òåíçîðà Ò.


                                  115

Страницы