Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

18
ϕ
()rk
q
r
=
,
ãäå
k =
1
4
0
πε
— êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ñèñòåìå ÑÈ.
Ðåøåíèå.
∂ϕ
∂
∂
∂
x
kq
x
xyz
kq
x
xyz
kq
x
r
=
++
=
−
++
=−
1
222
22232 3
()
.
Àíàëîãè÷íî:
∂ϕ
∂
y
kq
y
r
=−
3
,
∂ϕ
∂
z
kq
z
r
=−
3
.
È òîãäà ïîëó÷àåì:
∇=
=− =−
ϕ
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
xyz
kq
r
xyz k
q
r
r,, {,,}
33
ρ
.
Ïðèìåð 3. Îïðåäåëèòü óãîë
θ
ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíûõ
ïîëåé u=x+y+z è v=x
2
+y
2
+z
2
â òî÷êå Ì (1, 1, 0).
Ðåøåíèå. ∇u={1, 1, 1} — ýòî ïîñòîÿííûé âåêòîð, íîðìàëü-
íûé ê ïëîñêîñòè x+y+z=Ñ; ∇v={2x,2y,2z}
M
= {2, 2, 0}. Ïðî-
íîðìèðóåì ýòè ãðàäèåíòû:
ρ
n
u
u
1
1
3
111
=
∇
∇
=
{,,}
,
ρ
n
v
v
2
1
2
110
=
∇
∇
=
{,, }
.
Òîãäà
cos ( )
θ
=⋅= ++=
ρρ
nn
12
1
6
110
6
3
;
θ
≈ 35°.
                                              q
                                 ϕ (r ) = k     ,
                                              r

           1
ãäå k =         — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ñèñòåìå ÑÈ.
          4πε 0
     Ðåøåíèå.

     ∂ϕ       ∂         1          
                                      = kq         −x                    x
        = kq                                                       = − kq 3 .
     ∂x      ∂ x  x 2 + y 2 + z 2       ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2       r

Àíàëîãè÷íî:
                       ∂ϕ         y   ∂ϕ        z
                           = − kq 3 ,    = − kq 3 .
                       ∂ y       r    ∂z       r

È òîãäà ïîëó÷àåì:

                  ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ         kq                   q ρ
            ∇ϕ =        ,     ,      = − 3 {x , y , z} = − k 3 r .
                   ∂ x   ∂ y   ∂ z    r                   r

    Ïðèìåð 3. Îïðåäåëèòü óãîë θ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíûõ
ïîëåé u = x + y + z è v = x2 + y2 + z2 â òî÷êå Ì (1, 1, 0).
    Ðåøåíèå. ∇u = {1, 1, 1} — ýòî ïîñòîÿííûé âåêòîð, íîðìàëü-
íûé ê ïëîñêîñòè x + y + z = Ñ ; ∇v = {2x, 2y, 2z}M = {2, 2, 0}. Ïðî-
íîðìèðóåì ýòè ãðàäèåíòû:
               ρ ∇u      1            ρ    ∇v   1
               n1 =    =      , , } , n2 =
                            {111              =    {11
                                                     , ,0} .
                    ∇u    3                ∇v    2
Òîãäà

                     ρ ρ       1                 6
             cos θ = n1 ⋅ n2 =    (1 + 1 + 0) =    ; θ ≈ 35°.
                                6               3




                                       18

Страницы