Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

19
Çàäà÷è
1.43. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=ze
r
â òî÷êå
Ì (0, 0, 0).
• Îïðåäåëèòü óãîë θ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u
â òî÷êàõ Ì è N :
1.44.
uxy= arctg( )
, Ì(1,1), N (-1, -1);
1.45.
u
xy
=
+
cos
1
22
, M (1, 0), N (2, 2);
1.46.
u
x
xyz
=
++
222
, M (1, 2, 2), N (-3, 1, 0).
• Îïðåäåëèòü óãîë
θ
ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíûõ ïîëåé u
è v â òî÷êå Ì:
1.47.
uxy=+
22
,
vx y xy=− +33
, Ì (3, 4);
1.48.
ur=
,
vr= ln
2
, M (0, 0, 1);
1.49.
uz r= exp( )
2
,
vx y z=++ln( )2
22
, M (0, 0, 0).
1.50. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=yze
x
â
òî÷êå Ì (0, 0, 1) ïî íàïðàâëåíèþ åãî ãðàäèåíòà è
âäîëü îñè y.
1.51. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=x
2
+y
2
â òî÷êå Ì (
2
, 1), ïðèíàäëåæàùåé ãèïåðáîëå
x
2
— y
2
= 1, â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê íåé (â ñòîðîíó
âîçðàñòàíèÿ àáñöèññû).
1.52. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=ln(xy)
â òî÷êå Ì (1, 2), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå y=2x
2
, â
íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê íåé (â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ
àáñöèññû).
1.53. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
u=ln(x
2
+y
2
) â òî÷êå Ì (1, 1) â íàïðàâëåíèè íîðìà-
ëè ê ëèíèè óðîâíÿ ýòîãî ïîëÿ (â ñòîðîíó âîçðàñòà-
íèÿ àáñöèññû).
                               Çàäà÷è
     1.43. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = zer â òî÷êå
           Ì (0, 0, 0).
     • Îïðåäåëèòü óãîë θ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u
â òî÷êàõ Ì è N :
     1.44.   u = arctg( x y) , Ì(1,1), N (-1, -1);
                        1
     1.45. u = cos           , M (1, 0), N (2, 2);
                      x + y2
                       2



                     x
     1.46. u =              , M (1, 2, 2), N (-3, 1, 0).
                 x + y2 +z2
                  2


     • Îïðåäåëèòü óãîë θ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíûõ ïîëåé u
è v â òî÷êå Ì:

     1.47. u =    x 2 + y 2 , v = x − 3 y + 3xy ,          Ì (3, 4);

     1.48. u = r , v = ln r ,
                               2
                                                           M (0, 0, 1);
     1.49. u = z exp(r ) , v = x ln( 2 + y 2 + z 2 ) ,
                           2
                                                       M (0, 0, 0).
     1.50. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = yzex â
           òî÷êå Ì (0, 0, 1) ïî íàïðàâëåíèþ åãî ãðàäèåíòà è
           âäîëü îñè y.
     1.51. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x2 + y2

           â òî÷êå Ì ( 2 , 1), ïðèíàäëåæàùåé ãèïåðáîëå
           x2 — y2 = 1, â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê íåé (â ñòîðîíó
           âîçðàñòàíèÿ àáñöèññû).
     1.52. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = ln(xy)
           â òî÷êå Ì (1, 2), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå y = 2x2, â
           íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê íåé (â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ
           àáñöèññû).
     1.53. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
           u = ln(x2 + y2) â òî÷êå Ì (1, 1) â íàïðàâëåíèè íîðìà-
           ëè ê ëèíèè óðîâíÿ ýòîãî ïîëÿ (â ñòîðîíó âîçðàñòà-
           íèÿ àáñöèññû).




                                   19

Страницы