Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

21
1.72. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ñêàëÿðíûõ ïîëåé
u=(x
2
— y
2
)
3
è v=e
xy
îáðàçóþò íà ïëîñêîñòè êðèâî-
ëèíåéíóþ îðòîãîíàëüíóþ ñåòêó.
1.73. Äîêàçàòü, ÷òî ñåìåéñòâà ãèïåðáîë x
2
— y
2
=A(A=A
1
, A
2
, ...)
è xy=B (B=B
1
, B
2
, ...) âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû â
êàæäîé òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ. Èçîáðàçèòü ýòè ñåìåéñòâà.
• Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñ-
êèì, ò. å. u=u(r), òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
1.74.
∇=′uu
r
r
r
ρ
;
1.75.
ρ
ruru
r
⋅∇ =
′
;
1.76.
ρ
ru×∇ =0
.
1.77. Ïóñòü r
NM
— ðàññòîÿíèå îò ïåðåìåííîé òî÷êè Ì
äî íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè N,
ρ
e
NM
— åäè-
íè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç N â M.
Ïîêàçàòü, ÷òî
∇=re
NM NM
ρ
.
1.78. Ïóñòü
ρ
NM
— ðàññòîÿíèå îò ïåðåìåííîé òî÷êè Ì äî
íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ïðÿìîé, è òî÷êà N åñòü
îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè Ì
íà ýòó ïðÿìóþ. Ïîêàçàòü, ÷òî
∇=
ρ
NM NM
e
ρ
, ãäå
ρ
e
NM
—
åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç N â M.
1.79. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè ê ïàðàáîëîèäó
z=x
2
+y
2
â òî÷êàõ Ì (1/2, 0, 1/4) è N (0, 1/2, 1/4).
1.80. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè ê ñôåðå
x
2
+y
2
+z
2
= 1 â òî÷êàõ Ì (1/2, 1/2, 1/
2
)
è N (-1/2, 1/2, -1/
2
).
1.81. Ïóñòü r
1
è r
2
— ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè äî
íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê Ì
1
è Ì
2
. Ýëëèïñ
åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ñóììà
ýòèõ ðàññòîÿíèé îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Ðàññìàòðèâàÿ
ýëëèïñ êàê ëèíèþ óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=r
1
+r
2
,
äîêàçàòü, ÷òî åãî íîðìàëü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ì
ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà Ì
1
ÌÌ
2
.
Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.77.
      1.72. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ñêàëÿðíûõ ïîëåé
             u = (x2 — y2)3 è v = exy îáðàçóþò íà ïëîñêîñòè êðèâî-
             ëèíåéíóþ îðòîãîíàëüíóþ ñåòêó.
      1.73. Äîêàçàòü, ÷òî ñåìåéñòâà ãèïåðáîë x2 — y2 = A (A = A1, A2, ...)
             è xy = B (B = B1, B2, ...) âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû â
             êàæäîé òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ. Èçîáðàçèòü ýòè ñåìåéñòâà.
     • Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñ-
êèì, ò. å. u = u (r), òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
                        ρ
                        r
      1.74.   ∇u =  ur′   ;
                        r
               ρ
       1.75.   r ⋅ ∇u = rur′ ;
              ρ
       1.76. r × ∇u = 0 .
       1.77. Ïóñòü rNM — ðàññòîÿíèå îò ïåðåìåííîé òî÷êè Ì
                                                          ρ
             äî íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè N, eNM — åäè-
             íè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç N â M .
                                    ρ
             Ïîêàçàòü, ÷òî ∇rNM = eNM .
       1.78. Ïóñòü ρNM — ðàññòîÿíèå îò ïåðåìåííîé òî÷êè Ì äî
             íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ïðÿìîé, è òî÷êà N åñòü
             îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè Ì
                                                      ρ         ρ
             íà ýòó ïðÿìóþ. Ïîêàçàòü, ÷òî ∇ρ NM = eNM , ãäå eNM —
             åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç N â M.
       1.79. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè ê ïàðàáîëîèäó
             z = x2+ y2 â òî÷êàõ Ì (1/2, 0, 1/4) è N (0, 1/2, 1/4).
       1.80. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè ê ñôåðå

               x2 + y2 + z2 = 1   â    òî÷êàõ    Ì (1/2, 1/2, 1/      2 )

             è N (-1/2, 1/2, -1/ 2 ).
       1.81. Ïóñòü r1 è r2 — ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè äî
             íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê Ì1 è Ì2. Ýëëèïñ
             åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ñóììà
             ýòèõ ðàññòîÿíèé îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Ðàññìàòðèâàÿ
             ýëëèïñ êàê ëèíèþ óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = r1 + r2,
             äîêàçàòü, ÷òî åãî íîðìàëü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ì
             ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà Ì1ÌÌ2.
             Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.77.


                                      21

Страницы