Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

23
2. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÎËÅ
Îïðåäåëåíèå. Åñëè â êàæäîé òî÷êå Ì(x,y,z) íåêîòîðîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëåíà âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà
ρ
axyz(, ,)
, òî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîé îáëàñòè çàäàíî âåê-
òîðíîå ïîëå
ρ
a
.
Åñëè ââåäåíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, òî çàäàíèå âåê-
òîðíîãî ïîëÿ
ρ
axyz(, ,)
ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóí-
êöèé a
x
(x,y,z), a
y
(x,y,z), a
z
(x,y,z), ò. å.
ρρρρ
axyz a xyze a xyze a xyze
xxyyzz
(,,) (,,) (,,) (,,)=++
.
Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé:
•
ρρ
vvxyz= (, ,)
— ïîëå ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèä-
êîñòè;
•
ρρ
FFxyz= (, ,)
— ïîëå ãðàâèòàöèîííûõ ñèë íåêîòîðîé
ñèñòåìû ìàññ;
•
ρρ
EExyz= (,,)
— ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè
îíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Åñëè æå
ρρ
aaxyzt= (, ,,)
, òî
ïîëå
ρ
a
íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì. Äàëåå, åñëè íå
áóäåò ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê, ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëü-
êî ñòàöèîíàðíûå âåêòîðíûå ïîëÿ.
2.1. Âåêòîðíûå ëèíèè
Ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì âåêòîðíîãî ïîëÿ ñëóæàò
âåêòîðíûå ëèíèè.
Îïðåäåëåíèå. Ëèíèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
axyz(, ,)
íàçûâàåòñÿ îðèåí-
òèðîâàííàÿ â ïðîñòðàíñòâå êðèâàÿ, â êàæäîé òî÷êå
êîòîðîé âåêòîð
ρ
a
íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê ýòîé
êðèâîé.
Ïðèìåðû âåêòîðíûõ ëèíèé:
• ëèíèè ïîëÿ ñêîðîñòåé òî÷åê âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã
ôèêñèðîâàííîé îñè òâåðäîãî òåëà ÿâëÿþòñÿ êîíöåí-
òðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè;
                         2. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÎËÅ
Îïðåäåëåíèå. Åñëè â êàæäîé òî÷êå Ì(x,y,z) íåêîòîðîé îáëàñòè
              ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëåíà âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà
                ρ
                a ( x , y, z ) , òî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîé îáëàñòè çàäàíî âåê-
                                       ρ
              òîðíîå ïîëå a .
     Åñëè ââåäåíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, òî çàäàíèå âåê-
                  ρ
òîðíîãî ïîëÿ a ( x, y , z ) ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóí-
êöèé ax(x,y,z), ay(x,y,z), az(x,y,z), ò. å.
         ρ                                  ρ                      ρ                     ρ
         a ( x , y , z ) = a x ( x , y , z )e x + a y ( x , y , z )e y + a z ( x , y, z )e z .
       Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé:
             ρ ρ
          • v = v ( x , y , z ) — ïîëå ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèä-
            êîñòè;
             ρ ρ
          • F = F ( x , y , z ) — ïîëå ãðàâèòàöèîííûõ ñèë íåêîòîðîé
          ñèñòåìû ìàññ;
           ρ ρ
        • E = E ( x , y , z ) — ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
                                   ρ
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè
                                                    ρ ρ
          îíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Åñëè æå a = a ( x, y, z, t ) , òî
                ρ
          ïîëå a íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì. Äàëåå, åñëè íå
          áóäåò ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê, ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëü-
          êî ñòàöèîíàðíûå âåêòîðíûå ïîëÿ.

                               2.1. Âåêòîðíûå ëèíèè
    Ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì âåêòîðíîãî ïîëÿ ñëóæàò
âåêòîðíûå ëèíèè.
                                    ρ
Îïðåäåëåíèå. Ëèíèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ a ( x , y, z ) íàçûâàåòñÿ îðèåí-
           òèðîâàííàÿ â ïðîñòðàíñòâå êðèâàÿ, â êàæäîé òî÷êå
           êîòîðîé âåêòîð aρ íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê ýòîé
           êðèâîé.
    Ïðèìåðû âåêòîðíûõ ëèíèé:
         • ëèíèè ïîëÿ ñêîðîñòåé òî÷åê âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã
           ôèêñèðîâàííîé îñè òâåðäîãî òåëà ÿâëÿþòñÿ êîíöåí-
           òðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè;

                                             23

Страницы