Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

24
• ëèíèè ïîëÿ ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèäêîñòè —
ýòî èõ òðàåêòîðèè;
• ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
ρ
E
òî÷å÷íîãî çàðÿäà —
ýòî ðàäèàëüíûå ëó÷è, èñõîäÿùèå èç çàðÿäà.
Åñëè ïîëå
ρ
a
ñòàöèîíàðíî, òî åãî âåêòîðíûå ëèíèè íåèç-
ìåííû â ïðîñòðàíñòâå.
Òàê êàê âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîçíà÷íûì,
ò. å. êàæäîé òî÷êå Ì ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð
ρ
aM()
,
òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó Ì ïðîõîäèò òîëüêî îäíà âåêòîðíàÿ ëè-
íèÿ, ò. å. âåêòîðíûå ëèíèè íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
ïîñòîÿííî â ïðîñòðàíñòâå
êàê ïî âåëè÷èíå, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ, ò. å.
ρ
a
= const
(x, y, z)
, òî îíî íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì. Ãåî-
ìåòðè÷åñêè îäíîðîäíîå ïîëå èçîáðàæàåòñÿ ñåìåéñòâîì
ïàðàëëåëüíûõ îðèåíòèðîâàííûõ ïðÿìûõ, ðàâíîîòñòî-
ÿùèõ äðóã îò äðóãà.
Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a a xyz a xyz a xyz
xyz
= { (,,), (,,), (,,)}
.
Åãî âåêòîðíûå ëèíèè îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé:
dx
a
dy
a
dz
a
xyz
==
. (2.1)
Èõ èíòåãðèðîâàíèå äàåò ñèñòåìó äâóõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
ϕ
ϕ
11
22
(, ,) ;
(, ,) ,
xyz C
xyz C
=
=
êàæäîå èç êîòîðûõ çàäàåò íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå
(à òî÷íåå — ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé). Ïåðåñå÷åíèå êàæäîé ïàðû
ïîâåðõíîñòåé ýòèõ ñåìåéñòâ è îáðàçóåò âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ
ρ
axyz(, ,)
.
Ïðèìåð 1. Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ
ρ
vxyz(, ,)
ñêîðîñòåé
òî÷åê òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îñè z ñ óãëîâîé ñêî-
ðîñòüþ
ρ
ωω
= {,, }00
, è îïðåäåëèòü èõ îðèåíòàöèþ.
            • ëèíèè ïîëÿ ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèäêîñòè —
                ýòî èõ òðàåêòîðèè;
                                                                      ρ
            • ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E òî÷å÷íîãî çàðÿäà —
                ýòî ðàäèàëüíûå ëó÷è, èñõîäÿùèå èç çàðÿäà.
                          ρ
       Åñëè ïîëå a ñòàöèîíàðíî, òî åãî âåêòîðíûå ëèíèè íåèç-
ìåííû â ïðîñòðàíñòâå.
                                                       ρ
       Òàê êàê âåêòîðíîå ïîëå a ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîçíà÷íûì,
                                                                        ρ
ò. å. êàæäîé òî÷êå Ì ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð a ( M ) ,
òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó Ì ïðîõîäèò òîëüêî îäíà âåêòîðíàÿ ëè-
íèÿ, ò. å. âåêòîðíûå ëèíèè íå ïåðåñåêàþòñÿ.
                                                                 ρ
Îïðåäåëåíèå. Åñëè âåêòîðíîå ïîëå a ïîñòîÿííî â ïðîñòðàíñòâå
                êàê
                 ρ        ïî âåëè÷èíå, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ, ò. å.
                 a = const(x, y, z) , òî îíî íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì. Ãåî-
                ìåòðè÷åñêè îäíîðîäíîå ïîëå èçîáðàæàåòñÿ ñåìåéñòâîì
                ïàðàëëåëüíûõ îðèåíòèðîâàííûõ ïðÿìûõ, ðàâíîîòñòî-
                ÿùèõ äðóã îò äðóãà.
       Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå
       ρ
       a = {a x ( x , y , z ), a y ( x , y , z ), a z ( x , y , z )}.
       Åãî âåêòîðíûå ëèíèè îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé:

                             dx dy dz
                                =   =
                             a x a y az .                         (2.1)

Èõ èíòåãðèðîâàíèå äàåò ñèñòåìó äâóõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:

                            ϕ1( x, y, z ) = C1;
                            
                            ϕ2( x, y, z ) = C2,
êàæäîå èç êîòîðûõ çàäàåò íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå
(à òî÷íåå — ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé). Ïåðåñå÷åíèå êàæäîé ïàðû
ïîâåðõíîñòåé ýòèõ ñåìåéñòâ è îáðàçóåò âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ
 ρ
a ( x , y, z ) .
                                               ρ
         Ïðèìåð 1. Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ v ( x , y, z ) ñêîðîñòåé
òî÷åê òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îñè z ñ óãëîâîé ñêî-
               ρ
ðîñòüþ ω = {0,0, ω } , è îïðåäåëèòü èõ îðèåíòàöèþ.


                                    24

Страницы