Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 25 стр.

                      ρ ρ ρ
     Ðåøåíèå. Òàê êàê v = ω × r , òî
              ρ    ρ    ρ
              ex   ey   ez
           ρ                   ρ      ρ
           v= 0     0   ω = −ωyex + ωxey + 0 = ω{− y, x,0}
                                                           .   (2.2)
               x    y   z

Ïîäñòàâëÿÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà vρ â ñèñòåìó (2.1), ïîëó÷àåì:

                             dx   dy dz
                                =    =
                             −y    x   0 .
Èç ïîñëåäíåé äðîáè ñëåäóåò, ÷òî z = const — ýòî ñåìåéñòâî ïëîñ-
êîñòåé z = C1, C2, ..., ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè z. Ïåðâîå ðàâåíñòâî
ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ: xdx + ydy = 0, èëè: d(x2 + y2) = 0. Îòñþäà:
x2 + y2 = R2. Ýòî ñåìåéñòâî êðóãîâûõ öèëèíäðîâ, ñîîñíûõ îñè z.
      Âåêòîðíûå ëèíèè îáðàçóþòñÿ ïåðåñå÷åíèåì íàéäåííûõ ïëîñ-
êîñòåé è öèëèíäðîâ, ò. å. ýòî áóäåò ñåìåéñòâî êîíöåíòðè÷åñêèõ
îêðóæíîñòåé ñ îáùåé îñüþ z.
      Îðèåíòàöèÿ ëèíèé îïðåäåëÿåòñÿ èç àíàëèçà çíàêîâ êîìïî-
íåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ (2.2) â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà.
Òàê íàïðèìåð, â ïîëóïðîñòðàíñòâå y > 0 êîìïîíåíòà vx = -ωy < 0.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îáëàñòè y > 0 ñòðåëêà âåêòîðíîé ëèíèè íà-
ïðàâëåíà â ñòîðîíó óáûâàíèÿ êîîðäèíàòû x. Ñëåäîâàòåëüíî, îðè-
åíòàöèÿ îêðóæíîñòè áóäåò îáðàçîâûâàòü ïðàâûé âèíò îòíîñè-
òåëüíî ñòðåëêè îñè z (ðèñ. 3).
      Àíàëîãè÷íûé àíàëèç êîìïîíåíòû vy (vy > 0 ïðè x > 0) ïðè-
âîäèò ê òàêîìó æå ðåçóëüòàòó.




                                 Ðèñ. 3
                                          ρ      ρ      ρ      ρ
     Ïðèìåð 2. Íàéòè âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ a = − ye x + xe y + be z ,
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (1, 0, 0).




                                  25