Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

27
dy
dx
axy
axy
y
x
=
(, )
(, )
, (z = const).
Ïðèìåðîì ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëå ñêîðîñòåé (2.2).
Çàäà÷è
• Ïîñòðîèòü ñåìåéñòâà âåêòîðíûõ ëèíèé è îòìåòèòü èõ îðè-
åíòàöèè äëÿ ñëåäóþùèõ ïëîñêèõ ïîëåé:
2.1.
ρ
axy= {, }
; 2.5.
ρ
axxy= {, }
2
;
2.2.
ρ
axy=−{,}
; 2.6.
ρ
axy= {, }2
;
2.3.
ρ
ayx= {,}
; 2.7.
ρ
ax= {, }12
;
2.4.
ρ
ayx=−{,}
; 2.8.
ρ
axyxy=− +{, }
.
• Ïîñòðîèòü ñåìåéñòâà âåêòîðíûõ ëèíèé ïîëåé ãðàäèåíòîâ
ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé:
2.9.
ux y=−
22
; 2.11.
uxy=
; 2.13.
uyx=
2
;
2.10.
uyx=
; 2.12.
u
x
y=+
2
2
4
; 2.14.
u
r
=
1
.
2.15. Òî÷å÷íûé çàðÿä, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ
ρ
v
, ñî-
çäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå
ρ
ρρ
Bkvrr=×()/
3
, ãäå
ρ
r
— âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç
çàðÿäà ê òî÷êå íàáëþäåíèÿ, k — íåêîòîðûé êîýô-
ôèöèåíò. Ïóñòü çàðÿä ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ âäîëü îñè
z ñî ñêîðîñòüþ
ρ
v
. Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ
ρ
B
,
ñîçäàâàåìîãî ýòèì çàðÿäîì.
2.16. Íàéòè âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé
ôóíêöèè
u
z
xy
=
+
22
,
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó Ì (0, 1, 1).
                        dy a y ( x, y )
                          =
                        dx ax ( x, y ) , (z = const).
Ïðèìåðîì ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëå ñêîðîñòåé (2.2).

                                 Çàäà÷è
     • Ïîñòðîèòü ñåìåéñòâà âåêòîðíûõ ëèíèé è îòìåòèòü èõ îðè-
åíòàöèè äëÿ ñëåäóþùèõ ïëîñêèõ ïîëåé:
            ρ                                  ρ
       2.1. a = {x , y} ;                2.5. a = {x 2, xy} ;
            ρ                                  ρ
       2.2. a = {− x , y} ;              2.6. a = {x ,2 y} ;
            ρ                                  ρ
       2.3. a = { y , x} ;               2.7. a = {1,2 x} ;
            ρ                                  ρ
       2.4. a = {− y , x} ;              2.8. a = {x − y , x + y} .
     • Ïîñòðîèòü ñåìåéñòâà âåêòîðíûõ ëèíèé ïîëåé ãðàäèåíòîâ
ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé:
       2.9. u = x 2 − y 2 ; 2.11. u = xy ;    2.13. u = y x 2 ;
                                          x2                  1
      2.10. u = y x ;       2.12. u =        + y 2 ; 2.14. u = .
                                          4                   r
                                                              ρ
      2.15. Òî÷å÷íûé çàðÿä, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v , ñî-
            çäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå
             ρ       ρ ρ                 ρ
             B = k ( v × r ) / r 3 , ãäå r — âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç
            çàðÿäà ê òî÷êå íàáëþäåíèÿ, k — íåêîòîðûé êîýô-
            ôèöèåíò. Ïóñòü çàðÿä ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ âäîëü îñè
                                     ρ                           ρ
            z ñî ñêîðîñòüþ v . Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ B ,
            ñîçäàâàåìîãî ýòèì çàðÿäîì.
      2.16. Íàéòè âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé
            ôóíêöèè

                               u=      z
                                    x2 + y2 ,
            ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó Ì (0, 1, 1).




                                     27

Страницы