Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

28
2.2. Ïîòîê
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïîëå
ρ
axyz(, ,)
íàõîäèòñÿ ãëàäêàÿ
îðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü S. Òîãäà ïîâåðõíîñò-
íûé èíòåãðàë
Φ= ⋅ = ⋅
∫∫ ∫∫
()
ρρ ρ
ρ
ae dS adS
n
SS
(2.4)
íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç ïîâåð-
õíîñòü S; çäåñü
ρ
e
n
— åäèíè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ íîð-
ìàëü ê ïîâåðõíîñòè S íà åå ýëåìåíòå dS,
dS e dS
n
ρ
ρ
=
—
îðèåíòèðîâàííûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè S.
Ïîòîê Ô ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêàëÿðíîé è àëãåáðàè÷åñêîé,
ò.å. îí ìîæåò áûòü áîëüøå íóëÿ, ðàâåí íóëþ èëè ìåíüøå íóëÿ.
Åñëè ïîâåðõíîñòü S çàìêíóòà, òî åå óñëîâíî ïîëîæèòåëüíîé
ñòîðîíîé ÿâëÿåòñÿ íàðóæíàÿ, ò.å. ïîëîæèòåëüíóþ íîðìàëü
ρ
e
n
â
ëþáîé åå òî÷êå ïðèíÿòî íàïðàâëÿòü íàðóæó. Ïîòîê âåêòîðíîãî
ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
Φ= ⋅
∫∫
ρ
ρ
adS
S
.
Ñâîéñòâà ïîòîêà
1. Ïðè ñìåíå óñëîâíî ïîëîæèòåëüíîé ñòîðîíû ïîâåðõ-
íîñòè S ïîòîê Ô ìåíÿåò çíàê.
2. Ïóñòü
ρ
a
è
ρ
b
— êàêèå-ëèáî âåêòîðíûå ïîëÿ, à p è q
— äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òîãäà
()pa qb dS p a dS q b dS
SSS
ρ
ρρ
ρ
ρρρ
+⋅= ⋅+ ⋅
∫∫ ∫∫∫∫
.
Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîñòüþ ïîòîêà.
3. Åñëè ïîâåðõíîñòü S ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ãëàäêèõ
ôðàãìåíòîâ S
1
, S
2
, ..., S
N
, òî
ρ
ρ
ρ
ρ
adS adS
S
k
N
S
k
⋅= ⋅
∫∫
∑
∫∫
=
1
.
                                2.2. Ïîòîê
                                           ρ
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïîëå a ( x, y , z ) íàõîäèòñÿ ãëàäêàÿ
          îðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü S. Òîãäà ïîâåðõíîñò-
          íûé èíòåãðàë
                                ρ ρ             ρ ρ
                        Φ = ∫∫ (a ⋅ en )dS = ∫∫ a ⋅ dS        (2.4)
                                 S                    S
                                                  ρ
            íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a ÷åðåç ïîâåð-
                            ρ
            õíîñòü S; çäåñü en — åäèíè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ íîð-
                                                     ρ ρ
            ìàëü ê ïîâåðõíîñòè S íà åå ýëåìåíòå dS, dS = en dS —
            îðèåíòèðîâàííûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè S.
      Ïîòîê Ô ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêàëÿðíîé è àëãåáðàè÷åñêîé,
ò.å. îí ìîæåò áûòü áîëüøå íóëÿ, ðàâåí íóëþ èëè ìåíüøå íóëÿ.
      Åñëè ïîâåðõíîñòü S çàìêíóòà, òî åå óñëîâíî ïîëîæèòåëüíîé
                                                              ρ
ñòîðîíîé ÿâëÿåòñÿ íàðóæíàÿ, ò.å. ïîëîæèòåëüíóþ íîðìàëü en â
ëþáîé åå òî÷êå ïðèíÿòî íàïðàâëÿòü íàðóæó. Ïîòîê âåêòîðíîãî
       ρ
ïîëÿ a ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
                                  ρ ρ
                           Φ = ∫∫ a ⋅ dS .
                                     S



                        Ñâîéñòâà ïîòîêà
         1. Ïðè ñìåíå óñëîâíî ïîëîæèòåëüíîé ñòîðîíû ïîâåðõ-
            íîñòè S ïîòîê Ô ìåíÿåò çíàê.
                     ρ    ρ
         2. Ïóñòü a è b — êàêèå-ëèáî âåêòîðíûå ïîëÿ, à p è q
            — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òîãäà
                     ρ ρ ρ               ρ ρ          ρ ρ
               ∫∫ ( pa + qb ) ⋅ dS = p∫∫ a ⋅ dS + q∫∫ b ⋅ dS .
                S                        S                S

            Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîñòüþ ïîòîêà.
         3. Åñëè ïîâåðõíîñòü S ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ãëàäêèõ
            ôðàãìåíòîâ S1, S2, ..., SN, òî

                            ρ    ρ       N        ρ   ρ
                        ∫∫ a ⋅ dS = ∑
                                    k =1
                                         ∫∫ a ⋅ dS .
                        S                    Sk




                                     28

Страницы