Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

30
êè dS íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðó
ρ
r
. Òîãäà îáúåì
ïèðàìèäû ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ dS
n
è âûñîòîé r
dV dS r
n
=
1
3
.
.
Ðèñ. 5
Ïîòîê âåêòîðà
ρ
r
÷åðåç ïëîùàäêó dS
d r dS r dS rdS dV
n
Φ= ⋅ = = =
ρ
ρ
cos
α
3
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêòîðà
ρ
r
÷åðåç âñþ çàìêíóòóþ ïîâåðõ-
íîñòü S
ΦΦ== =
∫∫ ∫∫
ddVV
SS
33
.
Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò æå ðå-
çóëüòàò áóäåò ïîëó÷åí è â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëî êîîðäèíàò Î
ëåæèò âíå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S.
Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axyyzzx=+ + +{, ,}
222222
÷åðåç ÷àñòü ïëîñêîñòè x0y, îãðàíè÷åííóþ îêðóæíîñòüþ x
2
+y
2
=R
2
è îðèåíòèðîâàííóþ â íàïðàâëåíèè îñè z.
Ðåøåíèå. Òàê êàê åäèíè÷íàÿ íîðìàëü
ρρ
ee
nz
=
, à êðóã ëåæèò
â ïëîñêîñòè z=0, òî ïîòîê
Φ= ⋅ = ⋅ = = + =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫
ρ
ρ
ρρ
a dS a e dS a dS z x dS x dS
S
z
S
z
SSS
() ( )
22 2
,
ãäå S — êðóã x
2
+ y
2
=R
2
, dS — ýëåìåíò ïëîùàäè ýòîãî êðóãà.
                                             ρ
êè dS íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðó r . Òîãäà îáúåì
ïèðàìèäû ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ dSn è âûñîòîé r
                                               1
                                        dV =     dS r .
                                               3 n




                            .




                                          Ðèñ. 5
              ρ
Ïîòîê âåêòîðà r ÷åðåç ïëîùàäêó dS
                   ρ ρ
              dΦ = r ⋅ dS = r cos α dS = rdS n = 3dV .
                                   ρ
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêòîðà r ÷åðåç âñþ çàìêíóòóþ ïîâåðõ-
íîñòü S

                            Φ = ∫∫ dΦ = 3∫∫ dV = 3V .
                                    S               S

     Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò æå ðå-
çóëüòàò áóäåò ïîëó÷åí è â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëî êîîðäèíàò Î
ëåæèò âíå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S.
                                                        ρ
     Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2 + y 2, y 2 + z 2, z 2 + x 2}
÷åðåç ÷àñòü ïëîñêîñòè x0y, îãðàíè÷åííóþ îêðóæíîñòüþ x2+y2 = R2
è îðèåíòèðîâàííóþ â íàïðàâëåíèè îñè z.
                                                             ρ ρ
     Ðåøåíèå. Òàê êàê åäèíè÷íàÿ íîðìàëü en = e z , à êðóã ëåæèò
â ïëîñêîñòè z = 0, òî ïîòîê
              ρ ρ          ρ ρ
       Φ = ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ (a ⋅ ez )dS = ∫∫ az dS = ∫∫ ( z 2 + x 2 )dS = ∫∫ x 2dS ,
             S          S                  S              S       S

ãäå S — êðóã x + y = R , dS — ýëåìåíò ïëîùàäè ýòîãî êðóãà.
                  2    2        2




                                               30

Страницы