Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

29
Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ ïîòîêà.
Âû÷èñëåíèå ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç ïîâåðõíîñòü S
â îáùåì ñëó÷àå åñòü çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåã-
ðàëà (2.4), äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïåöè-
àëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ
âàðèàíòîâ âåêòîðíûõ ïîëåé
ρ
a
è ïîâåðõíîñòåé S ýòó çàäà÷ó óäà-
åòñÿ ñâåñòè ê ïðîñòîìó óìíîæåíèþ.
Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρρ
ar=
÷åðåç
ïëîñêóþ ïëàñòèíêó ïëîùàäüþ S, íå ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò.
Ðåøåíèå. Ýëåìåíòàðíûé ïîòîê ïîëÿ
ρ
r
÷åðåç ïëîùàäêó dS
ïëàñòèíêè
d r dS r dS hdSΦ= ⋅ = =
ρ
ρ
cos
α
,
ãäå h — ðàññòîÿíèå îò ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè äî íà÷àëà êîîðäèíàò
(ðèñ. 4). Ïîëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü ê ïëàñòèíêå çäåñü âûáðàíà îò
íà÷àëà êîîðäèíàò Î. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêòîðà
ρ
r
÷åðåç âñþ
ïëàñòèíêó
Φ= ⋅ = =
∫∫ ∫∫
ρ
ρ
r dS h dS hS
SS
.
Ðèñ. 4
Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρρ
ar=
÷åðåç
çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îõâàòûâàþùóþ íà÷àëî êîîðäèíàò.
Ðåøåíèå. Ðàçîáüåì îáúåì V, îãðàíè÷åííûé äàííîé ïîâåðõ-
íîñòüþ S, íà óçêèå ïèðàìèäû ñ êîñûìè îñíîâàíèÿìè dS, ÿâëÿ-
þùèìèñÿ ó÷àñòêàìè ïîâåðõíîñòè S, è îáùåé âåðøèíîé Î â íà-
÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 5). È ïóñòü dS
n
=dScos
α
— ïðîåêöèÿ ïëîùàä-
             Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ ïîòîêà.
                                                 ρ
      Âû÷èñëåíèå ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S
â îáùåì ñëó÷àå åñòü çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåã-
ðàëà (2.4), äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïåöè-
àëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ
                                 ρ
âàðèàíòîâ âåêòîðíûõ ïîëåé a è ïîâåðõíîñòåé S ýòó çàäà÷ó óäà-
åòñÿ ñâåñòè ê ïðîñòîìó óìíîæåíèþ.
                                                      ρ ρ
      Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ a = r ÷åðåç
ïëîñêóþ ïëàñòèíêó ïëîùàäüþ S, íå ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò.
                                                 ρ
      Ðåøåíèå. Ýëåìåíòàðíûé ïîòîê ïîëÿ r ÷åðåç ïëîùàäêó dS
ïëàñòèíêè
                         ρ ρ
                    dΦ = r ⋅ dS = r cos α dS = hdS ,
ãäå h — ðàññòîÿíèå îò ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè äî íà÷àëà êîîðäèíàò
(ðèñ. 4). Ïîëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü ê ïëàñòèíêå çäåñü âûáðàíà îò
                                                     ρ
íà÷àëà êîîðäèíàò Î. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêòîðà r ÷åðåç âñþ
ïëàñòèíêó
                             ρ ρ
                     Φ = ∫∫ r ⋅ dS = h ∫∫ dS = hS .
                        S             S




                             Ðèñ. 4
                                                      ρ ρ
     Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ a = r ÷åðåç
çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îõâàòûâàþùóþ íà÷àëî êîîðäèíàò.
     Ðåøåíèå. Ðàçîáüåì îáúåì V, îãðàíè÷åííûé äàííîé ïîâåðõ-
íîñòüþ S, íà óçêèå ïèðàìèäû ñ êîñûìè îñíîâàíèÿìè dS, ÿâëÿ-
þùèìèñÿ ó÷àñòêàìè ïîâåðõíîñòè S, è îáùåé âåðøèíîé Î â íà-
÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 5). È ïóñòü dSn = dScosα — ïðîåêöèÿ ïëîùàä-



                              29

Страницы