Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

31
Ïîëó÷åííûé ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ êàê
â äåêàðòîâûõ, òàê è â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Â äåêàðòîâûõ êîîð-
äèíàòàõ ýëåìåíò ïëîùàäè dS = dxdy, è ïîòîê
Φ= = − =
∫∫∫
−
44
4
2
00
22 2
0
4
22
xdx dy x R xdx R
RRxR
π
.
 ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: x=r cos
ϕ
, dx = -r sin
ϕ
⋅ d
ϕ
, dS=rdr d
ϕ
,
è òîãäà ïîòîê
Φ= = ⋅ = ⋅ =
∫∫ ∫∫∫
x dS r rdrd
R
dR
S
R
222
0
2
0
4
24
0
2
44
cos cos
ϕϕ ϕϕ
π
ππ
.
Çàäà÷è
2.17. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ
ar=
÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåð-
õíîñòü â âèäå «êîíóñà ñ äíîì», ñîîñíîãî îñè z. Âåð-
øèíà êîíóñà íàõîäèòñÿ â òî÷êå (0, 0, 0), à åãî îñíî-
âàíèåì ÿâëÿåòñÿ êðóã ðàäèóñîì R, ïàðàëëåëüíûé ïëîñ-
êîñòè x0y è íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè z=H îò íåå.
2.18. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ
ar=
÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõ-
íîñòü êðóãîâîãî êîíóñà, îñíîâàíèå êîòîðîãî ðàäèó-
ñîì R ëåæèò â ïëîñêîñòè x0y, à âåðøèíà íàõîäèòñÿ â
òî÷êå (0, 0, H).
2.19. Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ïîëÿ
ρρ
ar=
÷åðåç çàìêíóòóþ ïî-
âåðõíîñòü S, íå îõâàòûâàþùóþ íà÷àëî êîîðäèíàò,
ðàâåí 3V, ãäå V — îáúåì, îõâàòûâàåìûé ïîâåðõíîñ-
òüþ S.
2.20. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ
ar=
÷åðåç öèëèíäðè÷åñêóþ
ïîâåðõíîñòü x
2
+ y
2
=R
2
, 0 ≤ z ≤ h.
2.21. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ
arr
=
3
÷åðåç ñôåðó ðàäèó-
ñîì R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
2.22. Âû÷èñëèòü ïîòîê öåíòðàëüíîãî ïîëÿ
ρρ
afrr= ()
(ãäå
f (r) — ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ
òî÷êè äî íà÷àëà êîîðäèíàò) ÷åðåç ñôåðó ðàäèóñîì R
ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
     Ïîëó÷åííûé ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ êàê
â äåêàðòîâûõ, òàê è â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Â äåêàðòîâûõ êîîð-
äèíàòàõ ýëåìåíò ïëîùàäè dS = dxdy, è ïîòîê
                      R          R2 − x 2     R
                Φ = 4∫ x 2dx                                   π
                                   ∫ dy = 4∫ x 2 R2 − x 2 dx = 4 R4 .
                      0            0       0

 ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: x = r cosϕ, dx = -r sinϕ⋅ dϕ, dS = rdr dϕ,
è òîãäà ïîòîê
                          R 2π                         2π
       Φ = ∫∫ x 2dS = ∫ ∫ r 2 cos2 ϕ ⋅ rdrdϕ =
                                                     R4                π
                                                     4 ∫0
                                                          cos2 ϕ ⋅ dϕ = R4 .
            S             0 0
                                                                       4


                                            Çàäà÷è
                                    ρ ρ
      2.17. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåð-
            õíîñòü â âèäå «êîíóñà ñ äíîì», ñîîñíîãî îñè z. Âåð-
            øèíà êîíóñà íàõîäèòñÿ â òî÷êå (0, 0, 0), à åãî îñíî-
            âàíèåì ÿâëÿåòñÿ êðóã ðàäèóñîì R, ïàðàëëåëüíûé ïëîñ-
            êîñòè x0y è íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè z = H îò íåå.
                                     ρ ρ
      2.18. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõ-
            íîñòü êðóãîâîãî êîíóñà, îñíîâàíèå êîòîðîãî ðàäèó-
            ñîì R ëåæèò â ïëîñêîñòè x0y, à âåðøèíà íàõîäèòñÿ â
            òî÷êå (0, 0, H).
                                       ρ ρ
      2.19. Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïî-
            âåðõíîñòü S, íå îõâàòûâàþùóþ íà÷àëî êîîðäèíàò,
            ðàâåí 3V, ãäå V — îáúåì, îõâàòûâàåìûé ïîâåðõíîñ-
            òüþ S.
                                    ρ ρ
      2.20. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç öèëèíäðè÷åñêóþ
            ïîâåðõíîñòü x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h.
                                     ρ ρ
      2.21. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r r 3 ÷åðåç ñôåðó ðàäèó-
            ñîì R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
                                                   ρ       ρ
      2.22. Âû÷èñëèòü ïîòîê öåíòðàëüíîãî ïîëÿ a = f ( r )r (ãäå
            f (r) — ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ
            òî÷êè äî íà÷àëà êîîðäèíàò) ÷åðåç ñôåðó ðàäèóñîì R
            ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.




                                              31

Страницы