Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

33
Íîðìàëü ê ïëîùàäêå íàïðàâëåíà â ñòîðîíó íà÷àëà
êîîðäèíàò.
2.34. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axyyxx=−−−{,,}21
222
÷åðåç
òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó — ÷àñòü ïëîñêîñòè
x+y+z—3 = 0, ðàñïîëîæåííóþ â ïåðâîì îêòàíòå.
Íîðìàëü ê ïëîùàäêå îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îðòîì
ρ
e
y
.
2.35. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
ayzx= {,,}
÷åðåç òðåóãîëüíóþ
ïëîùàäêó — ÷àñòü ïëîñêîñòè x + y + z — 3 = 0, ðàñ-
ïîëîæåííóþ â ïåðâîì îêòàíòå. Íîðìàëü ê ïëîùàäêå
îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îðòîì
ρ
e
y
.
2.36. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
ayxyxxyz=+ − ++{, , }
÷åðåç
ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà x
2
+ y
2
=R
2
, îãðàíè÷åííóþ
ïëîñêîñòÿìè z=0 è z=1.
2.37. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ
ar=
÷åðåç ó÷àñòîê ïëîñêî-
ñòè x —2y + z = 2, îãðàíè÷åííûé êîîðäèíàòíûìè
ïëîñêîñòÿìè. Íîðìàëü ê ïëîñêîñòè îáðàçóåò îñòðûé
óãîë ñ îðòîì
ρ
e
z
.
Ïîäñêàçêà. Ðàññòîÿíèå h îò ïëîñêîñòè
Ax + By + Cz = D äî íà÷àëà êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëîé
h
D
ABC
=
++
222
.
2.3. Äèâåðãåíöèÿ
Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå
ρ
axyz(, ,)
. Âûáåðåì â ýòîì ïîëå
íåêîòîðóþ òî÷êó Ì è îêðóæèì åå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ ∆S
ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. È ïóñòü ∆V — îáúåì, îãðàíè÷åííûé ïî-
âåðõíîñòüþ ∆S. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå:
ρ
ρ
adS
V
S
⋅
∫∫
∆
∆
. (2.5)
              Íîðìàëü ê ïëîùàäêå íàïðàâëåíà â ñòîðîíó íà÷àëà
              êîîðäèíàò.
                                        ρ
      2.34.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2x 2 − y, y − x 2,1 − x 2} ÷åðåç
              òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó — ÷àñòü ïëîñêîñòè
              x + y + z — 3 = 0, ðàñïîëîæåííóþ â ïåðâîì îêòàíòå.
                                                                      ρ
              Íîðìàëü ê ïëîùàäêå îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îðòîì e y .
                                      ρ
      2.35.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { y, z, x} ÷åðåç òðåóãîëüíóþ
              ïëîùàäêó — ÷àñòü ïëîñêîñòè x + y + z — 3 = 0, ðàñ-
              ïîëîæåííóþ â ïåðâîì îêòàíòå. Íîðìàëü ê ïëîùàäêå
                                               ρ
              îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îðòîì e y .
                                       ρ
      2.36.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { y + x, y − x, x + y + z} ÷åðåç
              ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà x2 + y2 = R2, îãðàíè÷åííóþ
              ïëîñêîñòÿìè z = 0 è z = 1.
                                       ρ ρ
      2.37.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç ó÷àñòîê ïëîñêî-
              ñòè x —2y + z = 2, îãðàíè÷åííûé êîîðäèíàòíûìè
              ïëîñêîñòÿìè. Íîðìàëü ê ïëîñêîñòè îáðàçóåò îñòðûé
                             ρ
              óãîë ñ îðòîì e z .
              Ïîäñêàçêà. Ðàññòîÿíèå h îò ïëîñêîñòè
              Ax + By + Cz = D äî íà÷àëà êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ
              ôîðìóëîé

                                    D
                           h=                 .
                                A2 + B2 + C 2


                       2.3. Äèâåðãåíöèÿ
                                      ρ
     Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) . Âûáåðåì â ýòîì ïîëå
íåêîòîðóþ òî÷êó Ì è îêðóæèì åå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ ∆S
ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. È ïóñòü ∆V — îáúåì, îãðàíè÷åííûé ïî-
âåðõíîñòüþ ∆S. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå:
                               ρ ρ
                            ∫∫ a ⋅ dS
                            ∆S         .                        (2.5)
                               ∆V



                                   33

Страницы