Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

34
Åñëè ïîâåðõíîñòü ∆S ñòÿãèâàòü ê òî÷êå Ì, ò. å. ∆S→0
Ì
, òî è
∆V→0. Ïðè ýòîì îòíîøåíèå (2.5) ìîæåò ñòðåìèòüñÿ êàê ê êî-
íå÷íîìó, òàê è ê áåñêîíå÷íîìó ïðåäåëó.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè îòíîøåíèå (2.5) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, êîãäà
îáëàñòü ∆V ñòÿãèâàåòñÿ ê òî÷êå Ì, òî ýòîò ïðåäåë
íàçûâàåòñÿ äèâåðãåíöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
â òî÷êå
Ì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
div
ρ
a
:
div lim
ρρ
ρ
a
V
adS
V
S
M
=⋅
→
∫∫
∆
∆
∆
0
1
. (2.6)
Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ — ýòî ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà.
Îíà îáðàçóåò ñêàëÿðíîå ïîëå â äàííîì âåêòîðíîì ïîëå.
Åñëè â äàííîé òî÷êå âåêòîðíîãî ïîëÿ
div
ρ
a > 0
, òî ãîâîðÿò,
÷òî â ýòîé òî÷êå åñòü èñòî÷íèê ïîëÿ, à åñëè
div
ρ
a < 0
, òî — ñòîê
ïîëÿ (îòðèöàòåëüíûé èñòî÷íèê).
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå, ó êîòîðîãî
div
ρ
a = 0
â îáëàñòè V,
íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â ýòîé îáëàñòè.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ äèâåðãåíöèè åå èíâàðèàíò-
íîå îïðåäåëåíèå (2.6) íåóäîáíî. Áîëåå óäîáíûì äëÿ ýòîãî ÿâëÿ-
åòñÿ âûðàæåíèå äèâåðãåíöèè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå. Ïóñòü â äå-
êàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
èìååò íåïðåðûâ-
íûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
∂
∂
∂
∂
∂
∂
a
x
a
y
a
z
x
y
z
,,
,
ãäå a
x
, a
y
, a
z
— êîìïîíåíòû âåêòîðà
ρ
a
. Òîãäà
div
ρ
a
a
x
a
y
a
z
x
y
z
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. (2.7)
Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëó (2.7) óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ñêàëÿðíî-
ãî ïðîèçâåäåíèÿ ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà
∇=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xyz
,,
(îïåðàòîðà ∇) íà âåêòîð
ρ
a
:
div
ρρ
aa=∇⋅
.
Åñëè ïîâåðõíîñòü ∆S ñòÿãèâàòü ê òî÷êå Ì, ò. å. ∆S→0Ì, òî è
∆V→0. Ïðè ýòîì îòíîøåíèå (2.5) ìîæåò ñòðåìèòüñÿ êàê ê êî-
íå÷íîìó, òàê è ê áåñêîíå÷íîìó ïðåäåëó.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè îòíîøåíèå (2.5) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, êîãäà
           îáëàñòü ∆V ñòÿãèâàåòñÿ ê òî÷êå Ì, òî ýòîò ïðåäåë
                                                    ρ
           íàçûâàåòñÿ äèâåðãåíöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ a â òî÷êå
                                           ρ
           Ì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì div a :
                          ρ              1        ρ   ρ
                      div a = lim
                             ∆V → 0 M   ∆V   ∫∫ a ⋅ dS    .   (2.6)
                                             ∆S

     Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ — ýòî ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà.
Îíà îáðàçóåò ñêàëÿðíîå ïîëå â äàííîì âåêòîðíîì ïîëå.
                                               ρ
     Åñëè â äàííîé òî÷êå âåêòîðíîãî ïîëÿ div a > 0 , òî ãîâîðÿò,
                                                ρ
÷òî â ýòîé òî÷êå åñòü èñòî÷íèê ïîëÿ, à åñëè div a < 0 , òî — ñòîê
ïîëÿ (îòðèöàòåëüíûé èñòî÷íèê).
                                              ρ
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå, ó êîòîðîãî div a = 0 â îáëàñòè V,
            íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â ýòîé îáëàñòè.
     Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ äèâåðãåíöèè åå èíâàðèàíò-
íîå îïðåäåëåíèå (2.6) íåóäîáíî. Áîëåå óäîáíûì äëÿ ýòîãî ÿâëÿ-
åòñÿ âûðàæåíèå äèâåðãåíöèè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå. Ïóñòü â äå-
                                             ρ
êàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîðíîå ïîëå a èìååò íåïðåðûâ-
íûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

                          ∂ax ∂a y ∂az
                             ,    ,
                          ∂x ∂y ∂z ,
                                      ρ
ãäå ax, ay, az — êîìïîíåíòû âåêòîðà a . Òîãäà
                           ρ ∂a ∂a    ∂a
                       div a = x + y + z .                    (2.7)
                              ∂x  ∂y  ∂z
Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëó (2.7) óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ñêàëÿðíî-
           ãî ïðîèçâåäåíèÿ ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà

                       ∇ =  ∂ , ∂ , ∂ 
                             ∂x ∂y ∂z 
                        ρ
(îïåðàòîðà ∇) íà âåêòîð a :
                               ρ     ρ
                         div a = ∇ ⋅ a .

                                    34

Страницы