Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

36
2.53. ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêà-
ëÿðíîé ôóíêöèè
ϕπε
= qr()4
0
(ïîòåíöèàë ïîëÿ òî-
÷å÷íîãî çàðÿäà q)?
2.54. ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêà-
ëÿðíîé ôóíêöèè
ukx=
2
2
(óïðóãàÿ ýíåðãèÿ ïðóæè-
íû æåñòêîñòüþ k)?
2.55. ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêà-
ëÿðíîé ôóíêöèè
u = ln
ρ
, ãäå
ρ
— ðàññòîÿíèå òî÷êè
äî îñè z ?
2.56. Âû÷èñëèòü
div( )rr
α
ρ
. Ïðè êàêîì ÷èñëå α ýòî ïîëå áó-
äåò ñîëåíîèäàëüíûì?
2.57. Âû÷èñëèòü
div ( )frr
ρ
, ãäå f (r) — ñôåðè÷åñêàÿ ñêà-
ëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè êàêîé ôóíêöèè f ýòî ïîëå áó-
äåò ñîëåíîèäàëüíûì?
2.58. Âû÷èñëèòü
div ( )f
ρρ
ρ
, ãäå
ρ
ρρ
ρ
=+xe ye
xy
. Ïðè êàêîé
ôóíêöèè f ýòî ïîëå áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì?
2.59. Äîêàçàòü, ÷òî
divgrad ( )fr f f r=
′′
+
′
2
, ãäå f (r) —
ñôåðè÷åñêîå ñêàëÿðíîå ïîëå.
2.60. Äëÿ êàêèõ ñêàëÿðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé f (r) èõ
ãðàäèåíòû îáðàçóþò ñîëåíîèäàëüíûå ïîëÿ?
2.4. Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî
Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî î ïðåîáðàçîâàíèè ïîâåðõíîñòíîãî
èíòåãðàëà â îáúåìíûé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç öåíòðàëüíûõ òåîðåì
âåêòîðíîãî àíàëèçà.
Òåîðåìà. Ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà âåêòîðíîå
ïîëå
ρ
axyz(, ,)
èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèç-
âîäíûå
∂
∂
∂
∂
∂
∂
a
x
a
y
a
z
x
y
z
,,
.
Òîãäà ïîòîê ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ çàìêíóòóþ
ïîâåðõíîñòü S ðàâåí èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèè
ρ
a
ïî
îáúåìó V, îãðàíè÷åííîìó ïîâåðõíîñòüþ S:
      2.53. ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêà-
            ëÿðíîé ôóíêöèè ϕ = q ( 4πε 0 r ) (ïîòåíöèàë ïîëÿ òî-
            ÷å÷íîãî çàðÿäà q)?
      2.54. ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêà-
              ëÿðíîé ôóíêöèè u = kx 2 2 (óïðóãàÿ ýíåðãèÿ ïðóæè-
              íû æåñòêîñòüþ k)?
      2.55.   ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêà-
              ëÿðíîé ôóíêöèè u = ln ρ , ãäå ρ — ðàññòîÿíèå òî÷êè
              äî îñè z ?
                               ρ
      2.56.   Âû÷èñëèòü div(rα r ) . Ïðè êàêîì ÷èñëå α ýòî ïîëå áó-
              äåò ñîëåíîèäàëüíûì?
                                    ρ
      2.57.   Âû÷èñëèòü div f ( r )r , ãäå f (r) — ñôåðè÷åñêàÿ ñêà-
              ëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè êàêîé ôóíêöèè f ýòî ïîëå áó-
              äåò ñîëåíîèäàëüíûì?
                                     ρ       ρ   ρ     ρ
      2.58.   Âû÷èñëèòü div f ( ρ )ρ , ãäå ρ = xe x + ye y . Ïðè êàêîé
              ôóíêöèè f ýòî ïîëå áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì?
      2.59. Äîêàçàòü, ÷òî divgrad f (r ) = f ′′ + 2 f ′ r , ãäå f (r) —
            ñôåðè÷åñêîå ñêàëÿðíîå ïîëå.
      2.60. Äëÿ êàêèõ ñêàëÿðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé f (r) èõ
            ãðàäèåíòû îáðàçóþò ñîëåíîèäàëüíûå ïîëÿ?

                    2.4. Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî
     Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî î ïðåîáðàçîâàíèè ïîâåðõíîñòíîãî
èíòåãðàëà â îáúåìíûé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç öåíòðàëüíûõ òåîðåì
âåêòîðíîãî àíàëèçà.
  Òåîðåìà. Ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà âåêòîðíîå
                 ρ
           ïîëå a ( x, y , z ) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèç-
           âîäíûå

                           ∂ax ∂a y ∂az
                              ,    ,
                            ∂x ∂y ∂z .
                                ρ
              Òîãäà ïîòîê ïîëÿ a ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ çàìêíóòóþ
                                                           ρ
              ïîâåðõíîñòü S ðàâåí èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèè a ïî
              îáúåìó V, îãðàíè÷åííîìó ïîâåðõíîñòüþ S:

                                  36

Страницы