Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

37
ρ
ρ
ρ
adS adV
VS
⋅=
∫∫∫∫∫
div
. (2.8)
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ïîëå
ρ
a
ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â îáëàñòè V,
îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S, òî
ρ
ρ
adS
S
⋅=
∫∫
0
.
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü â òî÷êå Ì èìååòñÿ èçîëèðîâàííûé èñòî÷íèê
ïîëÿ
ρ
a
, ò. å. div
ρ
a
= 0 âñþäó, êðîìå òî÷êè Ì. Òîãäà
ïîòîê ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü,
îõâàòûâàþùóþ òî÷êó Ì, íå çàâèñèò îò ôîðìû ýòîé
ïîâåðõíîñòè.
Ñëåäñòâèå 3. Ïîòîê ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç äâå ëþáûå
ïîâåðõíîñòè S
1
è S
2
, îãðàíè÷åííûå îäíèì êîíòóðîì
Ñ, èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå ïðè óñëîâèè, ÷òî îá-
ëàñòü ìåæäó S
1
è S
2
íå èìååò èñòî÷íèêîâ, ò. å. ÷òî â
ýòîé îáëàñòè div
ρ
a
=0.
Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì
âû÷èñëåíèÿ ïîòîêà, òàê êàê ñâîäèò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë îáû÷-
íî ê áîëåå ïðîñòîìó — îáúåìíîìó.
Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
rxyz= {, ,}
÷åðåç çàìêíó-
òóþ ïîâåðõíîñòü S.
Ðåøåíèå. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ïîòîêà çäåñü äîâîëüíî
òðóäîåìêî (ñì. ïðèìåð 2 ðàçä. 2.2, à òàêæå çàäà÷ó 2.19). Òåîðåìà
Îñòðîãðàäñêîãî ðåøàåò çàäà÷ó ñðàçó, òàê êàê
div
ρ
r = 3
,
ρ
ρ
ρ
r dS rdV V
SV
⋅= =
∫∫ ∫∫∫
div 3
,
íåçàâèñèìî îò òîãî, îõâàòûâàåò ïîâåðõíîñòü S íà÷àëî êîîðäèíàò
èëè íåò.
Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axyz= {, ,}
222
÷åðåç âåðõ-
íþþ ïîëóñôåðó ñ «äíîì»: x
2
+ y
2
+ z
2
=R
2
, z=0 (z > 0).
                            ρ       ρ        ρ
                       ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ div adV .             (2.8)
                        S                V
                       ρ
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â îáëàñòè V,
           îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S, òî
                             ρ ρ
                          ∫∫ a ⋅ dS = 0 .
                                S

Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü â òî÷êå Ì èìååòñÿ èçîëèðîâàííûé èñòî÷íèê
                  ρ            ρ
            ïîëÿ a , ò. å. div a = 0 âñþäó, êðîìå òî÷êè Ì. Òîãäà
                          ρ
            ïîòîê ïîëÿ a ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü,
            îõâàòûâàþùóþ òî÷êó Ì, íå çàâèñèò îò ôîðìû ýòîé
            ïîâåðõíîñòè.
                                               ρ
Ñëåäñòâèå 3. Ïîòîê ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a ÷åðåç äâå ëþáûå
            ïîâåðõíîñòè S1 è S2, îãðàíè÷åííûå îäíèì êîíòóðîì
            Ñ, èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå ïðè óñëîâèè, ÷òî îá-
            ëàñòü ìåæäó S1 è S2 íå èìååò èñòî÷íèêîâ, ò. å. ÷òî â
                               ρ
            ýòîé îáëàñòè div a = 0.
     Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì
âû÷èñëåíèÿ ïîòîêà, òàê êàê ñâîäèò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë îáû÷-
íî ê áîëåå ïðîñòîìó — îáúåìíîìó.
                                         ρ
     Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ r = {x , y, z} ÷åðåç çàìêíó-
òóþ ïîâåðõíîñòü S.
     Ðåøåíèå. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ïîòîêà çäåñü äîâîëüíî
òðóäîåìêî (ñì. ïðèìåð 2 ðàçä. 2.2, à òàêæå çàäà÷ó 2.19). Òåîðåìà
                                                   ρ
Îñòðîãðàäñêîãî ðåøàåò çàäà÷ó ñðàçó, òàê êàê div r = 3 ,
                     ρ ρ            ρ
                   ∫∫ ⋅ dS = ∫∫∫ divrdV = 3V ,
                     r
                   S                V

íåçàâèñèìî îò òîãî, îõâàòûâàåò ïîâåðõíîñòü S íà÷àëî êîîðäèíàò
èëè íåò.
                                       ρ
     Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2, y 2, z 2} ÷åðåç âåðõ-
íþþ ïîëóñôåðó ñ «äíîì»: x2 + y2 + z2 = R2, z = 0 (z > 0).




                                        37

Страницы