Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

38
Ðåøåíèå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.8) ïîòîê
Φ= + +
∫∫∫
2( )xyzdV
V
, (2.9)
ãäå V — âåðõíåå ïîëóøàðèå ðàäèóñîì R.
Îáúåìíûé èíòåãðàë (2.9) ëåãêî áåðåòñÿ êàê â ñôåðè÷åñêèõ
êîîðäèíàòàõ, òàê è â äåêàðòîâûõ. Âîçüìåì åãî â äåêàðòîâûõ êî-
îðäèíàòàõ. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì åãî íà òðè èíòåãðàëà:
IxdV
V
1
2
=
∫∫∫
,
IydV
V
2
2
=
∫∫∫
,
IzdV
V
3
2
=
∫∫∫
.
Òàê êàê êîîðäèíàòû x è y ýêâèâàëåíòíû îòíîñèòåëüíî ïî-
ëóøàðèÿ, òî I
1
=I
2
. Ïîýòîìó âû÷èñëèì, íàïðèìåð, òîëüêî I
2
.
Îáúåìíûé èíòåãðàë I
2
ñâåäåòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó, åñëè ýëåìåíò
îáúåìà dV âûðàçèòü êàê ôóíêöèþ y. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì ïîëóøàð
íà òîíêèå ïîëóäèñêè òîëùèíîé dy, îäèí èç êîòîðûõ ïîêàçàí
íà ðèñ. 6.
Ðèñ. 6
Åãî îáúåì
dV
hdy R y dy
==
−
ππ
222
22
()
.
Òîãäà
    Ðåøåíèå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.8) ïîòîê
                         Φ = 2∫∫∫ ( x + y + z )dV ,           (2.9)
                                 V

ãäå V — âåðõíåå ïîëóøàðèå ðàäèóñîì R.
     Îáúåìíûé èíòåãðàë (2.9) ëåãêî áåðåòñÿ êàê â ñôåðè÷åñêèõ
êîîðäèíàòàõ, òàê è â äåêàðòîâûõ. Âîçüìåì åãî â äåêàðòîâûõ êî-
îðäèíàòàõ. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì åãî íà òðè èíòåãðàëà:

            I1 = 2∫∫∫ xdV , I2 = 2∫∫∫ ydV , I3 = 2∫∫∫ zdV .
                  V                    V                V

     Òàê êàê êîîðäèíàòû x è y ýêâèâàëåíòíû îòíîñèòåëüíî ïî-
ëóøàðèÿ, òî I1 = I2. Ïîýòîìó âû÷èñëèì, íàïðèìåð, òîëüêî I2.
Îáúåìíûé èíòåãðàë I2 ñâåäåòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó, åñëè ýëåìåíò
îáúåìà dV âûðàçèòü êàê ôóíêöèþ y. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì ïîëóøàð
íà òîíêèå ïîëóäèñêè òîëùèíîé dy, îäèí èç êîòîðûõ ïîêàçàí
íà ðèñ. 6.




                                     Ðèñ. 6

    Åãî îáúåì
                             πh2dy π ( R2 − y 2 )dy
                      dV =        =                 .
                               2          2
Òîãäà




                                      38

Страницы