Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 39 стр.

                                          R
                          I2 = π ∫ ( R2 − y 2 ) ydy = 0 .
                               2 −R

     Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I3 ïîëóøàð ðàçáèâàåòñÿ íà òîí-
êèå äèñêè òîëùèíîé dz, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z. Îáúåì òàêîãî
äèñêà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè z îò ïëîñêîñòè x0y,
dV = πh2dz = π (R2 — z2)dz . È òîãäà
                                      R
                      Φ = I3 = 2∫ π ( R2 − z 2 )zdz =
                                                             π R4
                                      0
                                                              2 .
                                                ρ
     Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2 + y 2, y 2 + z 2, z 2 + x 2}
÷åðåç âåðõíþþ ïîëóñôåðó x2 + y2 + z2 = R 2 (z > 0).
     Ðåøåíèå. Çàìêíåì ïîëóñôåðó «äíîì» — êðýãîì ðàäèóñà R,
îáðàçîâàâ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S = Sñô + Sêð, ïðè÷åì íîðìàëü
                                   ρ
ê êðóãó îáðàùåíà â ñòîðîíó − e z , à íîðìàëü ê ïîëóñôåðå — â
ñòîðîíó ðîñòà êîîðäèíàòû z , ò. å. âñå íîðìàëè áóäóò âíåøíèìè
ïî îòíîøåíèþ ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S. Òîãäà â ñèëó ñâîéñòâà
àääèòèâíîñòè ïîòîêà ÔS = Ôñô+ Ôêð, îòêóäà èñêîìûé ïîòîê
                                      ρ ρ         ρ ρ
                Φсф = Φ S − Φк р = ∫∫ a ⋅ dS − ∫∫ a ⋅ dS .
                                                  S       πR 2

Ïåðâûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåì ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî:
               ρ ρ             ρ
            ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ divadV = 2∫∫∫ ( x + y + z )dV .
                  S          V                        V

Îí ðàâåí πR /2, êàê ïîêàçàíî â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Âòîðîé
              4

èíòåãðàë Ôêð âû÷èñëåí â ïðèìåðå 3 ðàçä. 2.2. Ïîñêîëüêó â äàííîì
                        ρ     ρ
ñëó÷àå íîðìàëü ê êðóãó en = − e z , òî çäåñü
                                πR4   ρ       ρ
                                 ∫∫ a ⋅ dS = −
                                  4
                                     .
                      πR          2

                                   ρ
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ïîòîê ïîëÿ a ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóñôåðó
                               π 4 π 4
                          Φсф = R + R = 3 πR4 .
                                2   4   4




                                              39