Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

41
a) ÷åðåç ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà x
2
+y
2
≤ R
2
,
0≤z ≤ h;
á) ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ýòîãî öèëèíäðà.
2.74. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axz=−{,,}20
÷åðåç öèëèíäðè-
÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü x
2
+y
2
= 4, 0≤ z ≤ 1. Ïîëîæèòåëü-
íàÿ ñòîðîíà öèëèíäðà — âíåøíÿÿ.
2.75. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
a yxz= {,,}
÷åðåç âåðõíþþ ïî-
ëóñôåðó x
2
+y
2
+z
2
=R
2
(z ≥ 0).
2.76. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axyz= {, ,}
222
÷åðåç êîíè÷åñ-
êóþ ïîâåðõíîñòü x
2
+y
2
=z
2
, 0 ≤ z ≤ h. Ïîëîæèòåëüíàÿ
ñòîðîíà êîíóñà — âíåøíÿÿ.
2.77. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axz= {,,}0
÷åðåç ïîâåðõíîñòü
ïàðàáîëîèäà z=x
2
+y
2
, ëåæàùóþ ìåæäó ïëîñêîñòÿ-
ìè z =0 è z = 4. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà
— âíåøíÿÿ.
2.78. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axyz=−−{, , }21
÷åðåç ÷àñòü
ïàðàáîëîèäà z=1—x
2
—y
2
, ëåæàùóþ íàä ïëîñêîñòüþ
x0y. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà — âíåøíÿÿ.
2.79. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
axzyzz=−{, , }1
2
÷åðåç ÷àñòü
ïàðàáîëîèäà z=1—x
2
—y
2
, ëåæàùóþ íàä ïëîñêîñòüþ
x0y. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà — âíåøíÿÿ.
2.80. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u (x, y, z) ÿâ-
ëÿåòñÿ ïîëèíîìîì âòîðîãî ïîðÿäêà, òî äëÿ ïðîèç-
âîëüíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S èíòåãðàë
∂
∂
u
n
dS
S
∫∫
ïðîïîðöèîíàëåí îáúåìó, îãðàíè÷åííîìó S, ëèáî ðà-
âåí íóëþ.
2.81. Òî÷å÷íûé çàðÿä q, íàõîäÿùèéñÿ â íà÷àëå êîîðäè-
íàò, ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè-
÷åñêîå ïîëå
ρ
ρ
Eqr r= ()4
0
3
πε
, ãäå
ε
0
— ýëåêòðè÷åñêàÿ
ïîñòîÿííàÿ. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàä-
ñêîãî âû÷èñëèòü ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ïðîèçâîëü-
        a) ÷åðåç ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà x2 + y2 ≤ R2,
           0 ≤ z ≤ h;
        á) ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ýòîãî öèëèíäðà.
                                   ρ
2.74.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2 x ,0,− z} ÷åðåç öèëèíäðè-
        ÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 1. Ïîëîæèòåëü-
        íàÿ ñòîðîíà öèëèíäðà — âíåøíÿÿ.
                                  ρ
2.75.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { y , x , z} ÷åðåç âåðõíþþ ïî-
        ëóñôåðó x2 + y2 + z2 = R2 (z ≥ 0).
                                    ρ
2.76.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2, y 2, z 2} ÷åðåç êîíè÷åñ-
        êóþ ïîâåðõíîñòü x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ h. Ïîëîæèòåëüíàÿ
        ñòîðîíà êîíóñà — âíåøíÿÿ.
                                   ρ
2.77.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x,0, z} ÷åðåç ïîâåðõíîñòü
        ïàðàáîëîèäà z = x2 + y2, ëåæàùóþ ìåæäó ïëîñêîñòÿ-
        ìè z = 0 è z = 4. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà
        — âíåøíÿÿ.
                                     ρ
2.78.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2 x,− y ,1 − z} ÷åðåç ÷àñòü
        ïàðàáîëîèäà z = 1 — x2 — y2, ëåæàùóþ íàä ïëîñêîñòüþ
        x0y. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà — âíåøíÿÿ.
                                     ρ
2.79.   Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {xz, yz,1 − z 2} ÷åðåç ÷àñòü
        ïàðàáîëîèäà z = 1 — x2 — y2, ëåæàùóþ íàä ïëîñêîñòüþ
        x0y. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà — âíåøíÿÿ.
2.80.   Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u (x, y, z) ÿâ-
        ëÿåòñÿ ïîëèíîìîì âòîðîãî ïîðÿäêà, òî äëÿ ïðîèç-
        âîëüíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S èíòåãðàë
                              ∂u
                         ∫∫ ∂n dS
                          S

        ïðîïîðöèîíàëåí îáúåìó, îãðàíè÷åííîìó S, ëèáî ðà-
        âåí íóëþ.


2.81. Òî÷å÷íûé çàðÿä q, íàõîäÿùèéñÿ â íà÷àëå êîîðäè-
      íàò, ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè-
                   ρ    ρ
      ÷åñêîå ïîëå E = qr ( 4πε 0 r 3 ) , ãäå ε0 — ýëåêòðè÷åñêàÿ
        ïîñòîÿííàÿ. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàä-
        ñêîãî âû÷èñëèòü ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ïðîèçâîëü-

                              41

Страницы