Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 43 стр.

      Ïðèìåð 1. Ïóñòü ñïóòíèê ëåòàåò âîêðóã Çåìëè ïî êðóãîâîé
îðáèòå. Òîãäà â êàæäîé òî÷êå åãî òðàåêòîðèè äåéñòâóþùàÿ íà
                        ρ
íåãî ñèëà òÿæåñòè F ïåðïåíäèêóëÿðíà ýëåìåíòó åãî òðàåêòîðèè
 ρ        ρ ρ
dl , ò.å. F ⋅ dl = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè

                                       ρ ρ
                                       2

                                 A = ∫ F ⋅ dl = 0
                                       1

                                          ρ
íà ëþáîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè, õîòÿ ïîëå F ( x , y , z ) ≠ 0 .
     Ïðèìåð 2. Ïðè äâèæåíèè òåëà ââåðõ ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè
                                 ρ
îòðèöàòåëüíà, òàê êàê ñìåùåíèå dl àíòèïàðàëëåëüíî ñèëå òÿæå-
      ρ   ρ ρ
ñòè mg : mg ⋅ dl < 0 .
     Åñëè êðèâàÿ 1—2 çàìêíóòà, ò. å. îáðàçóåò íåêîòîðûé îðèåí-
òèðîâàííûé êîíòóð Ñ, òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (2.10) íà-
                          ρ
çûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé ïîëÿ a ïî êîíòóðó Ñ è îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
                                          ρ ρ
                                    A = ∫ a ⋅ dl .
                                           C
                                                                      ρ
    Òàê êàê â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ                                  a = {ax , a y , az} ,
 ρ
dl = {dx, dy, dz} , òî ðàáîòó (2.10) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
           2
             ρ ρ 2
                           (                                                )
       A = ∫ a ⋅ dl = ∫ ax ( x, y, z )dx + a y ( x, y, z )dy + az ( x, y, z )dz . (2.11)
            1          1




                               Ñâîéñòâà ðàáîòû
        1. Ïðè ñìåíå íàïðàâëåíèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàáîòà ìå-
           íÿåò çíàê:
                                2
                                    ρ ρ       1
                                                ρ ρ
                                ∫ a ⋅ dl   = −∫ a ⋅ dl ;
                                1               2

            Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè ñìåíå îðèåíòàöèè ýëå-
                   ρ                          ρ ρ
            ìåíòà dl ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå a ⋅ dl ìåíÿåò çíàê.


                                           43