Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

44
2. Ïóñòü
ρ
a
è
ρ
b
— êàêèå-ëèáî âåêòîðíûå ïîëÿ, à p è q —
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òîãäà
()pa qb dl p a dl q b dl
ρ
ρρ
ρ
ρρρ
+⋅=⋅+ ⋅
∫∫∫
1
2
1
2
1
2
.
Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîñòüþ ðàáîòû.
3. Åñëè êðèâàÿ 1—3 ðàçáèòà íà äâà ó÷àñòêà 1—2 è 2—3,
òî
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
adl adl adl⋅=⋅+⋅
∫∫∫
1
2
1
3
2
3
.
Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ ðàáîòû.
Âû÷èñëåíèå ðàáîòû
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (2.10) íàäî
âûðàçèòü êîîðäèíàòû òî÷êè íà êðèâîé 1—2 ôóíêöèÿìè êàêîãî-
ëèáî îäíîãî ïàðàìåòðà, è òîãäà çàäà÷à ñâåäåòñÿ ê âû÷èñëåíèþ
ïðîñòîãî èíòåãðàëà. Îáû÷íî êðèâàÿ 1—2 çàäàåòñÿ îäíèì èç ñëå-
äóþùèõ äâóõ ñïîñîáîâ.
Ñïîñîá 1. Êðèâàÿ 1—2 çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè:
x=x(
ϕ
), y=y(
ϕ
), z=z(
ϕ
),
ïðè÷åì ïàðàìåòð
ϕ
íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ îò
ϕ
1
â òî÷êå 1 äî
ϕ
2
â òî÷êå 2. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
dx x d=
′
ϕ
,
dy y d=
′
ϕ
,
dz z d=
′
ϕ
,
âìåñòî êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (2.11) ïîëó÷àåì
ïðîñòîé:
[]
A axyzxaxyzyaxyzzd
xyz
=
′
+
′
+
′
∫
( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( ))
ϕϕϕ ϕϕϕ ϕϕϕ ϕ
ϕ
ϕ
1
2
.
Ñïîñîá 2. Êðèâàÿ 1—2 çàäàíà ñèñòåìîé óðàâíåíèé y=y(x),
z=z(x), ïðè÷åì êîîðäèíàòà x íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ
îò x
1
â òî÷êå 1 äî x
2
â òî÷êå 2. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
dy y dx=
′
,
dz z dx=
′
, âìåñòî êðèâîëèíåéíîãî èíòåã-
ðàëà (2.11) ïîëó÷àåì ïðîñòîé:
                      ρ ρ
             2. Ïóñòü a è b — êàêèå-ëèáî âåêòîðíûå ïîëÿ, à p è q —
                äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òîãäà
                         2
                              ρ    ρ ρ 2ρ ρ                 2
                                                              ρ ρ
                         ∫ ( pa + qb ) ⋅ dl = p∫ a ⋅ dl + q ∫ b ⋅ dl .
                         1                             1                1

                Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîñòüþ ðàáîòû.
             3. Åñëè êðèâàÿ 1—3 ðàçáèòà íà äâà ó÷àñòêà 1—2 è 2—3,
                òî
                                   3
                                       ρ ρ       2
                                                     ρ ρ       3
                                                                   ρ ρ
                                   ∫ a ⋅ dl = ∫ a ⋅ dl + ∫ a ⋅ dl .
                                   1             1             2

                   Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ ðàáîòû.

                                       Âû÷èñëåíèå ðàáîòû
    Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (2.10) íàäî
âûðàçèòü êîîðäèíàòû òî÷êè íà êðèâîé 1—2 ôóíêöèÿìè êàêîãî-
ëèáî îäíîãî ïàðàìåòðà, è òîãäà çàäà÷à ñâåäåòñÿ ê âû÷èñëåíèþ
ïðîñòîãî èíòåãðàëà. Îáû÷íî êðèâàÿ 1—2 çàäàåòñÿ îäíèì èç ñëå-
äóþùèõ äâóõ ñïîñîáîâ.
Ñïîñîá 1. Êðèâàÿ 1—2 çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè:
                 x = x(ϕ), y = y (ϕ), z = z (ϕ),
           ïðè÷åì ïàðàìåòð ϕ íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ îò ϕ1
           â òî÷êå 1 äî ϕ2 â òî÷êå 2. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
                             dx = x ′dϕ , dy = y ′dϕ , dz = z ′dϕ ,
                   âìåñòî êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (2.11) ïîëó÷àåì
                   ïðîñòîé:
     ϕ2
A=   ∫ [a x ( x(ϕ ), y (ϕ ), z (ϕ )) x ′ + a y ( x(ϕ ), y (ϕ ), z (ϕ )) y ′ + a z ( x(ϕ ), y(ϕ ), z (ϕ ))z ′]dϕ.
     ϕ1


Ñïîñîá 2.          Êðèâàÿ 1—2 çàäàíà ñèñòåìîé óðàâíåíèé y = y(x),
                   z = z (x), ïðè÷åì êîîðäèíàòà x íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ
                   îò x1 â òî÷êå 1 äî x2 â òî÷êå 2. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
                   dy = y ′dx , dz = z ′dx , âìåñòî êðèâîëèíåéíîãî èíòåã-
                   ðàëà (2.11) ïîëó÷àåì ïðîñòîé:


                                                     44

Страницы