Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

45
[]
Aaxyxzxaxyxzxyaxyxzxzdx
xy z
x
x
=+′+′
∫
(, (),()) (, (),()) (, (),())
1
2
.
Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ðàáîòó âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
rxy= {, }
âäîëü
ïðàâîé âåðõíåé ÷åòâåðòè ýëëèïñà x
2
/a
2
+ y
2
/b
2
= 1 îò òî÷êè (0, b)
äî (a, 0).
Ðåøåíèå 1. Äàííûé ýëëèïñ ìîæíî çàäàòü ïàðàìåòðè÷åñêè:
x=acos
ϕ
, y=bsin
ϕ
. Òîãäà: dx = -asin
ϕ
d
ϕ
, dy = bcos
ϕ
d
ϕ
, è ðàáîòà
A r dl xdx ydy a b d
ab
=⋅= + = − + =
−
∫∫∫
ρ
ρ
( ) ( sin cos sin cos )
/
22
22
2
0
1
2
1
2
2
ϕϕ ϕϕϕ
π
.
Ðåøåíèå 2. Èç êàíîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ýëëèïñà äëÿ åãî
ïåðâîé ÷åòâåðòè èìååì:
yb xa=−1
22
.
Òîãäà
dy
b
a
xdx
xa
=− ⋅
−
2
22
1
,
è ðàáîòà
Axdxydy x
b
a
xdx
ab
a
=+=−
=
−
∫∫
()
2
2
01
2
22
2
.
Ïðèìåð 4. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ òî÷å÷íî-
ãî çàðÿäà
ρ
ρ
Ekrr
=
/
3
âäîëü ïðîèçâîëüíîé êðèâîé 1—2.
Ðåøåíèå. Ïóñòü x=x(
ϕ
), y=y(
ϕ
), z=z(
ϕ
) — ïàðàìåòðè÷åñ-
êèå óðàâíåíèÿ êðèâîé 1—2. Òîãäà ðàáîòà
A E dx E dy E dz k
x
r
x
y
r
y
z
r
zd
xyz
=++= ′+′+′
=
∫∫
()
1
2
33 3
1
2
ϕ
ϕ
ϕ
=++==−
∫∫
k
r
d
d
xyzd k
dr
r
k
rr
r
r
1
22
11
3
222
2
3
12
1
2
1
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
()
.
          x2
     A=    ∫ [ax ( x, y( x ), z( x )) + a y ( x, y( x ), z( x )) y ′ + az ( x, y( x ), z( x ))z ′]dx .
          x1

                                                     ρ
     Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ðàáîòó âåêòîðíîãî ïîëÿ r = {x, y} âäîëü
ïðàâîé âåðõíåé ÷åòâåðòè ýëëèïñà x2/a2 + y2/b2 = 1 îò òî÷êè (0, b)
äî (a, 0).
     Ðåøåíèå 1. Äàííûé ýëëèïñ ìîæíî çàäàòü ïàðàìåòðè÷åñêè:
x = acosϕ, y = bsinϕ. Òîãäà: dx = -asinϕdϕ, dy = bcosϕdϕ, è ðàáîòà

    2
      ρ ρ 2                              0
                                             ( −a 2 sin ϕ cos ϕ + b2 sin ϕ cos ϕ )dϕ = a − b .
                                                                                        2   2
A = ∫ r ⋅ dl = ∫ ( xdx + ydy ) =         ∫
    1            1                      π /2
                                                                                          2

    Ðåøåíèå 2. Èç êàíîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ýëëèïñà äëÿ åãî
ïåðâîé ÷åòâåðòè èìååì:

                                         y = b 1 − x2 a2 .
Òîãäà
                                              b    xdx
                                    dy = −      ⋅
                                              a2 1 − x2 a2 ,

è ðàáîòà
                          2                      a
                                                               a 2 − b2
                     A = ∫ ( xdx + ydy ) = ∫  x − 2 x dx =
                                                   b2
                         1                 0
                                                  a              2 .

     Ïðèìåð 4. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ òî÷å÷íî-
          ρ    ρ
ãî çàðÿäà E = kr / r 3 âäîëü ïðîèçâîëüíîé êðèâîé 1—2.
     Ðåøåíèå. Ïóñòü x = x (ϕ), y = y (ϕ), z = z (ϕ) — ïàðàìåòðè÷åñ-
êèå óðàâíåíèÿ êðèâîé 1—2. Òîãäà ðàáîòà
                2                                    ϕ2
          A = ∫ ( Ex dx + E y dy + Ez dz ) = ∫ k  x3 x ′ + 3 y ′ + z3 z ′ dϕ =
                                                             y
              1                              ϕ
                                                  r        r        r 
                                                      1




                     ϕ2                                        r2
                                                                       
               = k ∫ 1 3 d ( x 2 + y 2 + z 2 )dϕ = k ∫ dr 3 = k  1 − 1  .
                                                          2

                  ϕ
                    2r   d ϕ                         r
                                                       2r        r1 r2 
                      1                                        1




                                                     45

Страницы