Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

46
Âèäíî, ÷òî ðàáîòà òàêîãî ïîëÿ íå çàâèñèò îò ôîðìû êðèâîé
1—2, à òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê äî
íà÷àëà êîîðäèíàò.
Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayx=−{,}
âäîëü
îêðóæíîñòè (x — h)
2
+y
2
=R
2
.
Ðåøåíèå. Çàäàäèì îêðóæíîñòü (x — h)
2
+ y
2
=R
2
ïàðàìåòðè-
÷åñêè: x = h + Rcos
ϕ
, y=Rsin
ϕ
(ðèñ. 7). Òîãäà èñêîìàÿ öèðêóëÿ-
öèÿ áóäåò ðàâíà:
()
( ) sin ( cos ) cosadx ady R d h R R d
xy
+= ++ =
∫∫
22
0
2
ϕϕ ϕ ϕϕ
π
=+ =
∫
(cos)RhR d R
2
0
2
2
2
ϕϕ π
π
.
Ðèñ. 7
Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ
ρ
a yxx y z=++{,, }
îò òî÷-
êè Ì
1
(3, 4, 0) äî Ì
2
(0, 0, 5) ïî ïðÿìîé.
Ðåøåíèå. Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîé èìååò âèä:
x
y
z−
−
=
−
−
=
−
−
3
03
4
04
0
50
.
Îòñþäà
yx
=
4
3
,
zx
=−
5
5
3
,
dy dx
=
4
3
,
dz dx
=−
5
3
.
È òîãäà ðàáîòà
()
A ydx xdy x y z dz x x x x x dx
M
M
=++++=++++−
−
=
∫∫
()
1
2
4
3
4
3
4
3
5
5
3
5
3
18
3
0
.
Âèäíî, ÷òî ðàáîòà òàêîãî ïîëÿ íå çàâèñèò îò ôîðìû êðèâîé
1—2, à òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê äî
íà÷àëà êîîðäèíàò.
                                                  ρ
     Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {− y , x} âäîëü
îêðóæíîñòè (x — h)2 + y2 = R2.
     Ðåøåíèå. Çàäàäèì îêðóæíîñòü (x — h)2 + y2 = R2 ïàðàìåòðè-
÷åñêè: x = h + Rcosϕ, y = Rsinϕ (ðèñ. 7). Òîãäà èñêîìàÿ öèðêóëÿ-
öèÿ áóäåò ðàâíà:
                                  2π

          ∫ (ax dx + a y dy ) =    ∫ ( R2 sin 2 ϕdϕ + ( h + R cos ϕ ) R cos ϕdϕ ) =
                                   0


                                  2π
                             = ∫ ( R2 + hR cos ϕ )dϕ = 2πR2 .
                                  0




                                               Ðèñ. 7
                                       ρ
    Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = { y , x , x + y + z} îò òî÷-
êè Ì1 (3, 4, 0) äî Ì2 (0, 0, 5) ïî ïðÿìîé.
    Ðåøåíèå. Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîé èìååò âèä:

                                       x −3 y −4 z −0
                                           =    =     .
                                       0−3 0−4 5−0
Îòñþäà
                      4            5        4           5
                y=      x , z = 5 − x , dy = dx , dz = − dx .
                      3            3        3           3
È òîãäà ðàáîòà
     M2                                    0
                                               4        4      4           5   5 
A=   ∫ ( ydx + xdy + ( x + y + z )dz) = ∫  3 x + 3 x +  x + 3 x + 5 − 3 x  − 3  dx = 18.
     M1                                    3




                                                    46

Страницы