Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

42
íóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îõâàòûâàþùóþ ýòîò
çàðÿä.
2.82. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρ
ayzxzz=−{, ,}
÷åðåç çàìêíóòóþ
ïîâåðõíîñòü S : x
2
+y
2
= 1, z=0, z=1.
2.83. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
÷èñëèòü ïîòîê îäíîðîäíîãî ïîëÿ
ρ
a = {, ,}
αβγ
÷åðåç
òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó S, âåðøèíû êîòîðîé íàõî-
äÿòñÿ â òî÷êàõ Ì
1
(1,0, 0), Ì
2
(0, 1, 0), Ì
3
(0,0, 1). Ïî-
ëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü ê ïëîùàäêå íàïðàâëåíà îò íà-
÷àëà êîîðäèíàò.
2.84. Äàâëåíèå â æèäêîñòè íà ãëóáèíå h p=p
0
+
ρ
gh, ãäå
p
0
— àòìîñôåðíîå äàâëåíèå,
ρ
— ïëîòíîñòü æèäêî-
ñòè, g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Èñïîëüçóÿ
èíòåãðàëüíûé àíàëîã ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî
udS udV
SV
ρ
∫∫ ∫∫∫
=∇
,
ãäå u — ïðîèçâîëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå, äîêàçàòü, ÷òî
ρ
ρ
Fmg=−
, ãäå
ρ
F
— ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû
æèäêîñòè íà ïîãðóæåííîå â íåå òåëî, m — ìàññà
æèäêîñòè, âûòåñíåííîé òåëîì (çàêîí Àðõèìåäà).
2.5. Ðàáîòà
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïîëå
ρ
axyz(, ,)
çàäàíà îðèåíòèðî-
âàííàÿ êðèâàÿ 1—2. Òîãäà êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
Aaedladl=⋅ =⋅
∫∫
()
ρρ ρ
ρ
τ
1
2
1
2
(2.10)
íàçûâàåòñÿ ðàáîòîé âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
âäîëü êðè-
âîé 1—2; çäåñü
ρ
e
τ
— åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð
ê êðèâîé 1—2 íà åå ýëåìåíòå dl,
dl e dl
ρ
=
τ
— îðèåí-
òèðîâàííûé ýëåìåíò êðèâîé 1—2.
Ðàáîòà À ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêàëÿðíîé è àëãåáðàè÷åñêîé,
ò. å. îíà ìîæåò áûòü áîëüøå íóëÿ, ðàâíà íóëþ è ìåíüøå íóëÿ.
            íóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îõâàòûâàþùóþ ýòîò
            çàðÿä.
      2.82. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                                    ρ
            ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { yz ,− xz , z} ÷åðåç çàìêíóòóþ
            ïîâåðõíîñòü S : x2 + y2 = 1, z = 0, z = 1.
      2.83. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                                                     ρ
            ÷èñëèòü ïîòîê îäíîðîäíîãî ïîëÿ a = {α , β , γ } ÷åðåç
            òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó S, âåðøèíû êîòîðîé íàõî-
            äÿòñÿ â òî÷êàõ Ì1 (1, 0, 0), Ì2 (0, 1, 0), Ì3 (0, 0, 1). Ïî-
            ëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü ê ïëîùàäêå íàïðàâëåíà îò íà-
            ÷àëà êîîðäèíàò.
      2.84. Äàâëåíèå â æèäêîñòè íà ãëóáèíå h p = p0 + ρgh, ãäå
            p0 — àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, ρ — ïëîòíîñòü æèäêî-
            ñòè, g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Èñïîëüçóÿ
            èíòåãðàëüíûé àíàëîã ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî
                             ρ
                        ∫∫ udS = ∫∫∫ ∇udV ,
                           S          V

            ãäå u — ïðîèçâîëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå, äîêàçàòü, ÷òî
             ρ      ρ       ρ
             F = − mg , ãäå F — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû
            æèäêîñòè íà ïîãðóæåííîå â íåå òåëî, m — ìàññà
            æèäêîñòè, âûòåñíåííîé òåëîì (çàêîí Àðõèìåäà).

                               2.5. Ðàáîòà
                                    ρ
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïîëå a ( x , y, z ) çàäàíà îðèåíòèðî-
           âàííàÿ êðèâàÿ 1—2. Òîãäà êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
                            2
                               ρ ρ          2
                                              ρ ρ
                        A = ∫ (a ⋅ eτ )dl = ∫ a ⋅ dl            (2.10)
                               1           1

                                                    ρ
             íàçûâàåòñÿ ðàáîòîé âåêòîðíîãî ïîëÿ a âäîëü êðè-
                            ρ
             âîé 1—2; çäåñü eτ — åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð
                                              ρ ρ
             ê êðèâîé 1—2 íà åå ýëåìåíòå dl, dl = eτ dl — îðèåí-
             òèðîâàííûé ýëåìåíò êðèâîé 1—2.
       Ðàáîòà À ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêàëÿðíîé è àëãåáðàè÷åñêîé,
ò. å. îíà ìîæåò áûòü áîëüøå íóëÿ, ðàâíà íóëþ è ìåíüøå íóëÿ.

                                    42

Страницы