Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

26
Ðåøåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âåêòîðíîé ëèíèè
çäåñü èìåþò âèä:
dx
y
dy
x
dz
b−
==
. (2.3)
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì: x
2
+y
2
=C
1
2
— ýòî ñåìåéñòâî öè-
ëèíäðîâ. ×òîáû ïðîèíòåãðèðîâàòü âòîðîå óðàâíåíèå, ââåäåì ïà-
ðàìåòð t òàêîé, ÷òî
xC t=
1
cos
,
yC t=
1
sin
.
Òîãäà âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.3) áóäåò: dz = bdt, îòêóäà
z=bt+C
2
.
Èòàê, ïîëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âåêòîðíûõ
ëèíèé:
xC t
yC t
zbtC
=
=
=+
1
1
2
cos ,
sin ,
.
.
 òî÷êå (1, 0, 0) ïàðàìåòð t=0. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå t â âûøå-
ïðèâåäåííóþ ñèñòåìó, íàõîäèì: Ñ
1
= 1, Ñ
2
=0.
Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âåêòîðíîé ëè-
íèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (1, 0, 0), áóäóò èìåòü âèä:
xt
yt
zbt
=
=
=
cos ,
sin ,
.
.
Ýòî — âèíòîâàÿ ëèíèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè âñå åãî
âåêòîðíûå ëèíèè ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ,
è â êàæäîé èç ýòèõ ïëîñêîñòåé ïîëå îäíî è òî æå.
 ýòîì ñëó÷àå â êàêîé-ëèáî èç òàêèõ ïëîñêîñòåé óäîáíî
ââåñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó x0y, è òîãäà ïîëå
ρ
a
â ýòîé ñèñòåìå íå
áóäåò ñîäåðæàòü z-êîìïîíåíòû:
ρρ ρ
a a xye a xye a a
xxyyxy
=+=(, ) (, ) { , }
.
Òåïåðü åäèíñòâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîé
âåêòîðíîé ëèíèè ïðèíèìàåò âèä:
     Ðåøåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âåêòîðíîé ëèíèè
çäåñü èìåþò âèä:

                          dx   dy dz
                             =    =
                          −y    x   b .                     (2.3)

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì: x2 + y2 = C12 — ýòî ñåìåéñòâî öè-
ëèíäðîâ. ×òîáû ïðîèíòåãðèðîâàòü âòîðîå óðàâíåíèå, ââåäåì ïà-
ðàìåòð t òàêîé, ÷òî
                    x = C1 cos t , y = C1 sin t .
Òîãäà âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.3) áóäåò: dz = bdt, îòêóäà
z = bt + C2 .
      Èòàê, ïîëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âåêòîðíûõ
ëèíèé:

                          x = C1 cos t,
                          
                           y = C1 sin t, .
                           z = bt + C .
                                      2


 òî÷êå (1, 0, 0) ïàðàìåòð t = 0. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå t â âûøå-
ïðèâåäåííóþ ñèñòåìó, íàõîäèì: Ñ1 = 1, Ñ2 = 0.
     Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âåêòîðíîé ëè-
íèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (1, 0, 0), áóäóò èìåòü âèä:

                            x = cos t,
                            
                             y = sin t, .
                            z = bt.
                            
Ýòî — âèíòîâàÿ ëèíèÿ.
                                     ρ
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè âñå åãî
           âåêòîðíûå ëèíèè ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ,
           è â êàæäîé èç ýòèõ ïëîñêîñòåé ïîëå îäíî è òî æå.
      ýòîì ñëó÷àå â êàêîé-ëèáî èç òàêèõ ïëîñêîñòåé óäîáíî
                                                             ρ
ââåñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó x0y, è òîãäà ïîëå a â ýòîé ñèñòåìå íå
áóäåò ñîäåðæàòü z-êîìïîíåíòû:
                 ρ              ρ                ρ
                 a = ax ( x, y )ex + a y ( x, y )ey = {ax , a y} .
     Òåïåðü åäèíñòâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîé
âåêòîðíîé ëèíèè ïðèíèìàåò âèä:

                                 26

Страницы