Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 17 стр.

Äàëåå âåçäå ïîä çàïèñüþ ∇u áóäåì ïîíèìàòü âåêòîð grad u.
      Ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ∇u îáëàäàåò ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
      a) âåêòîð ∇u íàïðàâëåí ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ
u (x, y, z) = C â êàæäîé åå òî÷êå (ðèñ. 2);




                                  Ðèñ. 2
     á) âåêòîð ∇u íàïðàâëåí â ñòîðîíó ðîñòà ôóíêöèè u;
     â) ñêîðîñòü ðîñòà ôóíêöèè u ìàêñèìàëüíà â íàïðàâëåíèè
ãðàäèåíòà: äåéñòâèòåëüíî, èç (1.6) âèäíî, ÷òî ∂u/∂l→max ïðè
 ρ
l ↑↑∇u, à ñàìà âåëè÷èíà ýòîé ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè ðîñòà
(∂u/∂l)max = ∇u;
     ã) ïóñòü u (x, y, z) è v (x, y, z) — äâà ñêàëÿðíûõ ïîëÿ, òîãäà:
∇(u + v) = ∇u + ∇v, ∇(uv) = u ∇v + v ∇u.
                                                          ρ
     Èç ñâîéñòâà à) ñëåäóåò, ÷òî åäèíè÷íàÿ íîðìàëü        en ê ïî-
âåðõíîñòè óðîâíÿ u (x, y, z) = C â ëþáîé åå òî÷êå âûðàæàåòñÿ ñî-
îòíîøåíèåì:
                             ρ    ∇u
                             en =
                                  ∇u ,
ïðè÷åì ýòà íîðìàëü íàïðàâëåíà â ñòîðîíó ðîñòà ôóíêöèè u.
                                                        ρ ρ
     Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = a ⋅ r ,
    ρ
ãäå a = {a1 , a 2 , a3} — ïîñòîÿííûé âåêòîð.
                             ρ ρ
     Ðåøåíèå. Òàê êàê a ⋅ r = a1 x + a2 y + a3 z , òî

                ∂ u ∂ u ∂ u                       ρ
          ∇u =       ,   ,      = {a1 , a 2 , a3} = a = const .
                 ∂ x ∂ y ∂ z 
Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòÿìè óðîâíÿ äàííîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ïëîñ-
                                            ρ
êîñòè (ñì. ïðèìåð 2 ðàçä. 1.1), òî âåêòîð a áóäåò íîðìàëüíûì ê
ñåìåéñòâó ýòèõ ïëîñêîñòåé.
     Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî
çàðÿäà q:


                                17