Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

16
1.3. Ãðàäèåíò
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîð, èìåþùèé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
êîìïîíåíòû
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
x
u
y
u
z
,,
,
íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) â
äàííîé òî÷êå è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì grad u :
grad , ,u
u
x
u
y
u
z
u
x
e
u
y
e
u
z
e
xyz
=
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρρρ
.
Òåïåðü ñîîòíîøåíèå (1.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
∂
∂
u
l
lu
M
M
=⋅
ρ
grad
.
(1.5)
Ñîâîêóïíîñòü òðåõ îïåðàöèé äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ∂/∂x, ∂/∂y,
∂/∂z ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñïåöèàëüíûì ñèìâîëîì ∇ — äèôôåðåí-
öèàëüíûì îïåðàòîðîì íàáëà, êîòîðûé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà ñ êîìïîíåíòàìè
∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z:
∇=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xyz
,,
.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ u (x, y, z), ïîäâåðæåííàÿ åãî
äåéñòâèþ, ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð grad u:
∇=
=u
u
x
u
y
u
z
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,, grad
.
Ñ ó÷åòîì ýòîãî, ñîîòíîøåíèå (1.5) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå:
∂
∂
u
l
lu=⋅∇
ρ
(
ρ
l = 1
). (1.6)
                          1.3. Ãðàäèåíò
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîð, èìåþùèé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
          êîìïîíåíòû

                        ∂ u ∂ u ∂ u 
                             ,   ,     ,
                         ∂ x ∂ y ∂ z 

           íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) â
           äàííîé òî÷êå è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì grad u :

                    ∂ u ∂ u ∂ u  ∂ u ρ ∂ u ρ ∂ u ρ
          grad u =       ,   ,     =    ex +    e +  e
                     ∂ x ∂ y ∂ z  ∂ x      ∂ y y ∂z z.
    Òåïåðü ñîîòíîøåíèå (1.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

                    ∂ u         ρ
                              = l ⋅ grad u       .
                                                             (1.5)
                    ∂l                       M
                          M

Ñîâîêóïíîñòü òðåõ îïåðàöèé äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ∂/∂x, ∂/∂y,
∂/∂z ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñïåöèàëüíûì ñèìâîëîì ∇ — äèôôåðåí-
öèàëüíûì îïåðàòîðîì íàáëà, êîòîðûé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà ñ êîìïîíåíòàìè
∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z:

                         ∂     ∂ ∂ 
                      ∇=      ,   ,     .
                          ∂ x ∂ y ∂ z 
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ u (x, y, z), ïîäâåðæåííàÿ åãî
äåéñòâèþ, ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð grad u:
                        ∂ u ∂ u ∂ u 
                  ∇u =       ,   ,      = grad u .
                         ∂ x ∂ y ∂ z 
Ñ ó÷åòîì ýòîãî, ñîîòíîøåíèå (1.5) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå:

                  ∂ u ρ                ρ
                     = l ⋅ ∇u        ( l = 1 ).              (1.6)
                  ∂l


                                16

Страницы