Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

14
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (1.3), ïîëó÷àåì:
∂
∂
u
l
=⋅−⋅ =−2
3
5
2
4
5
2
5
.
Òî, ÷òî ∂u/∂l
M
< 0, îçíà÷àåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîëå u â òî÷êå Ì
óáûâàåò â äàííîì íàïðàâëåíèè.
Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
u=arctg (xy) â òî÷êå Ì (1, 1), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå y=x
2
, â
íàïðàâëåíèè åå êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå â ñòîðîíó ðîñòà ôóíê-
öèè y.
Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà íàõîäèì íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòî-
ðà
ρ
l
â òî÷êå Ì. Òàê êàê òàíãåíñ óãëà ìåæäó êàñàòåëüíîé ê
ïàðàáîëå è îñüþ x :
tg
α
== =
=
dy
dx
x
x
22
1
,
òî
cos
α
= 15
,
cos sin
βα
==25
. Ïðîèçâîäíûå ïîëÿ u â òî÷-
êå Ì :
∂
∂
u
x
y
xy
=
+
=
1
1
2
22
1(1, )
,
∂
∂
u
y
x
xy
=
+
=
1
1
2
22
1(1, )
.
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåííèÿ â ôîðìóëó (1.4), ïîëó÷àåì:
∂
∂
u
l
=⋅ +⋅ =
1
2
1
5
1
2
2
5
35
10
.
Çàäà÷è
• Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíûå â òî÷êå Ì ïî íàïðàâëåíèþ ê
òî÷êå Ì´ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé:
1.27. u=x
2
y + xz
2
, M (1, 5, 0), M´(4, 5, 4);
1.28.
uxyz=++
222
, M (1, 1, 1), M´(3, 2, 1);
1.29. u=xy
2
z , M (5, 1, 2), M´(9, 4, 14);
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (1.3), ïîëó÷àåì:

                            ∂ u     3    4   2
                                = 2⋅ − 2⋅ = − .
                            ∂l      5    5   5

Òî, ÷òî ∂u/∂l M < 0, îçíà÷àåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîëå u â òî÷êå Ì
óáûâàåò â äàííîì íàïðàâëåíèè.
      Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
u = arctg (xy) â òî÷êå Ì (1, 1), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå y = x2, â
íàïðàâëåíèè åå êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå â ñòîðîíó ðîñòà ôóíê-
öèè y.
      Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà íàõîäèì íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòî-
    ρ
ðà l â òî÷êå Ì. Òàê êàê òàíãåíñ óãëà ìåæäó êàñàòåëüíîé ê
ïàðàáîëå è îñüþ x :
                                          dy
                                 tg α =      = 2 x x =1 = 2 ,
                                          dx

òî cos α = 1   5 , cos β = sin α = 2              5 . Ïðîèçâîäíûå ïîëÿ u â òî÷-
êå Ì :

       ∂ u     y                     1                ∂ u     x                   1
           =                     =                        =                   =
       ∂ x 1 + x2 y2     (1,1)
                                     2,               ∂ y 1 + x2 y2   (1,1)
                                                                                  2.

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåííèÿ â ôîðìóëó (1.4), ïîëó÷àåì:

                         ∂ u 1 1 1 2   3 5
                            = ⋅ + ⋅  =
                         ∂l 2 5 2 5     10 .


                                          Çàäà÷è
     • Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíûå â òî÷êå Ì ïî íàïðàâëåíèþ ê
òî÷êå Ì´ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé:

      1.27. u = x2y + xz2,                 M (1, 5, 0), M´(4, 5, 4);

      1.28. u = x + y + z , M (1, 1, 1), M´(3, 2, 1);
                     2           2    2


      1.29. u = xy2z ,                     M (5, 1, 2), M´(9, 4, 14);


                                             14

Страницы