Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

12
1.25. Ïóñòü r
1
è r
2
— ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè äî
äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê M
1
(-C, 0) è M
2
(C, 0), à
u=r
1
r
2
— ñêàëÿðíîå ïîëå (ëèíèè óðîâíÿ ýòîãî ïîëÿ
íàçûâàþòñÿ îâàëàìè Êàññèíè). Íàéòè óðàâíåíèå ëè-
íèè óðîâíÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (ýòà
êðèâàÿ èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå — ëåìíèñêàòà).
1.26. Ïóñòü Ì
1
è Ì
2
— ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, Ì — ïåðå-
ìåííàÿ òî÷êà,
α
1
è
α
2
— óãëû, êîòîðûå ñîñòàâëÿþò
âåêòîðû
ρ
r
MM
1
è
ρ
r
MM
2
ñ âåêòîðîì
ρ
r
MM
1
2
. Ïîñòðîèòü
ëèíèè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=
α
1
—
α
2
.
Ïðèìå÷àíèå. Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè, ïðèâå-
äåííûìè ê îáùåìó íà÷àëó, íàçûâàþò òîò èç äâóõ
îáðàçîâàííûõ èìè óãëîâ, êîòîðûé íå ïðåâîñõîäèò
π
.
1.2. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ
Ïóñòü çàäàíî ñêàëÿðíîå ïîëå u=u (x, y, z). Îòìåòèì â ýòîì
ïîëå êàêóþ-ëèáî òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå îðèåíòèðîâàí-
íóþ ïðÿìóþ l, çàäàâàåìóþ åäèíè÷íûì âåêòîðîì
ρ
llll
xyz
= {, ,}
.
È ïóñòü Ì´ — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé l, ñìåùåííàÿ âäîëü
âåêòîðà
ρ
l
îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé òî÷êè Ì. Ñîñòàâèì îòíîøå-
íèå:
uM uM
MM
()()
′−
′
, (1.1)
ãäå ÌÌ´ — âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ âäîëü âåêòîðà
ρ
l
.
Îïðåäåëåíèå. Ïðåäåë îòíîøåíèÿ (1.1), åñëè îí ñóùåñòâóåò, êîãäà
òî÷êà Ì´ ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå Ì ïî ïðÿìîé l, íà-
çûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u â òî÷êå Ì ïî
íàïðàâëåíèþ
ρ
l
è îáîçíà÷àåòñÿ äu /äl
M
:
∂
∂
u
l
uM uM
MM
M
MM
=
′−
′
′→
lim
()()
. (1.2)
      1.25. Ïóñòü r1 è r2 — ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè äî
            äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê M1 (-C, 0) è M2 (C, 0), à
            u = r1r2 — ñêàëÿðíîå ïîëå (ëèíèè óðîâíÿ ýòîãî ïîëÿ
            íàçûâàþòñÿ îâàëàìè Êàññèíè). Íàéòè óðàâíåíèå ëè-
            íèè óðîâíÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (ýòà
            êðèâàÿ èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå — ëåìíèñêàòà).
      1.26. Ïóñòü Ì1 è Ì2 — ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, Ì — ïåðå-
            ìåííàÿ òî÷êà, α1 è α2 — óãëû, êîòîðûå ñîñòàâëÿþò
                       ρ      ρ               ρ
            âåêòîðû rM M è rM M ñ âåêòîðîì rM M 2 . Ïîñòðîèòü
                         1              2                             1


            ëèíèè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = α1 — α2.
            Ïðèìå÷àíèå. Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè, ïðèâå-
            äåííûìè ê îáùåìó íà÷àëó, íàçûâàþò òîò èç äâóõ
            îáðàçîâàííûõ èìè óãëîâ, êîòîðûé íå ïðåâîñõîäèò π .

               1.2. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ
     Ïóñòü çàäàíî ñêàëÿðíîå ïîëå u = u (x, y, z). Îòìåòèì â ýòîì
ïîëå êàêóþ-ëèáî òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå îðèåíòèðîâàí-
íóþ ïðÿìóþ l, çàäàâàåìóþ åäèíè÷íûì âåêòîðîì
                         ρ
                         l = {l x , l y , l z } .
È ïóñòü Ì´ — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé l, ñìåùåííàÿ âäîëü
          ρ
âåêòîðà   l îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé òî÷êè Ì. Ñîñòàâèì îòíîøå-
íèå:
                             u( M ′ ) − u( M )
                                               ,                          (1.1)
                                  MM ′
                                                                  ρ
ãäå ÌÌ´ — âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ âäîëü âåêòîðà l .
Îïðåäåëåíèå. Ïðåäåë îòíîøåíèÿ (1.1), åñëè îí ñóùåñòâóåò, êîãäà
          òî÷êà Ì´ ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå Ì ïî ïðÿìîé l, íà-
          çûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u â òî÷êå Ì ïî
                       ρ
          íàïðàâëåíèþ l è îáîçíà÷àåòñÿ äu /ä lM :

                   ∂ u                      u( M ′ ) − u( M )
                             = lim                            .           (1.2)
                   ∂l          M ′→ M            MM ′
                         M




                                     12

Страницы