Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

10
Ïðè C > 0 èìååì ñåìåéñòâî ïàðàáîëîèäîâ, íàïðàâëåííûõ â ñòî-
ðîíó z > 0, à ïðè C < 0 — â ñòîðîíó z < 0. Ïðè Ñ=0 ïîëó÷àåì
z=0 — ýòî ïëîñêîñòü x0y.
Ïðèìåð 4. Èçîáðàçèòü ñåìåéñòâî ëèíèé óðîâíÿ
ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
u
xy
xy
=
+
+
22
2( )
.
Ðåøåíèå. Ëèíèÿ óðîâíÿ äàííîãî ïîëÿ îïèñûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì:
xy
xy
C
22
2
+
+
=
()
,
êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó:
(x — C)
2
+ (y — C)
2
=2C
2
.
Ïîëàãàÿ Ñ=Ñ
1
, Ñ
2
, ..., ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî îêðóæíîñòåé, ïðîõî-
äÿùèõ ÷åðåç òî÷êó (0, 0), â êîòîðîé ñàìî ïîëå u íå îïðåäåëåíî.
Öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà áèññåêòðèñå ïðÿìîãî óãëà x0y (ðèñ. 1):
ïðè C > 0 — â ïåðâîì êâàäðàíòå, ïðè C < 0 — â òðåòüåì.
Ðèñ. 1
Çàäà÷è
• Íàéòè ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé:
1.1.
u
xyz
=
++
1
222
; 1.2.
u
xy
z
=
+
22
;
Ïðè C > 0 èìååì ñåìåéñòâî ïàðàáîëîèäîâ, íàïðàâëåííûõ â ñòî-
ðîíó z > 0, à ïðè C < 0 — â ñòîðîíó z < 0. Ïðè Ñ = 0 ïîëó÷àåì
z = 0 — ýòî ïëîñêîñòü x0y.
      Ïðèìåð 4. Èçîáðàçèòü ñåìåéñòâî ëèíèé óðîâíÿ
ñêàëÿðíîãî ïîëÿ

                                   x2 + y2
                             u=               .
                                   2( x + y )
     Ðåøåíèå. Ëèíèÿ óðîâíÿ äàííîãî ïîëÿ îïèñûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì:

                             x2 + y2
                                        = C,
                             2( x + y )
êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó:
                   (x — C)2 + (y — C)2 = 2C 2.
Ïîëàãàÿ Ñ = Ñ1, Ñ2, ..., ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî îêðóæíîñòåé, ïðîõî-
äÿùèõ ÷åðåç òî÷êó (0, 0), â êîòîðîé ñàìî ïîëå u íå îïðåäåëåíî.
Öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà áèññåêòðèñå ïðÿìîãî óãëà x0y (ðèñ. 1):
ïðè C > 0 — â ïåðâîì êâàäðàíòå, ïðè C < 0 — â òðåòüåì.




                                   Ðèñ. 1


                                  Çàäà÷è
     • Íàéòè ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé:

                      1                                 x2 + y2
       1.1. u =               ;             1.2.   u=           ;
                  x + y2 + z2
                   2
                                                          z




                                    10

Страницы