Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

9
2) ñåìåéñòâîì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ïîëÿ òåìïåðàòóð ïðÿ-
ìîé äëèííîé ðàâíîìåðíî íàãðåòîé íèòè (ýêâèòåìïåðàòóðíûìè
ïîâåðõíîñòÿìè) áóäóò êðóãîâûå êîàêñèàëüíûå öèëèíäðû, îá-
ùàÿ îñü êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ íèòüþ.
Òàê êàê ôóíêöèÿ u (x, y, z) ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîçíà÷íîé, òî
÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà ïðîõîäèò òîëüêî îäíà ïîâåðõ-
íîñòü óðîâíÿ, ò. å. ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì, ò. å., íàïðèìåð,
u = u (x, y), òî åãî ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì áóäóò ëèíèè
óðîâíÿ — ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê íà ïëîñêîñòè xOy, ãäå
u (x, y) =C.
Ïðèìåð 1. Îïðåäåëèòü ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
uxyz=++
222
.
Ðåøåíèå. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì
xyzC
222
++=
,
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñåìåéñòâî ñôåð x
2
+ y
2
+ z
2
=C
2
(C=R
1
, R
2
, ...
— ðàäèóñû ñôåð).
Ïðèìåð 2. Îïðåäåëèòü ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
uar=⋅
ρρ
, ãäå
ρ
aaaa
=
{, , }
123
— ïîñòîÿííûé âåêòîð,
ρ
rxyz
=
{, ,}
— ðàäèóñ-âåêòîð.
Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ çäåñü èìååò
âèä:
ρρ
ar C⋅=
,
èëè:
a
1
x + a
2
y + a
3
z=C.
Ïîëàãàÿ Ñ=Ñ
1
, Ñ
2
, ... , ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïëîñ-
êîñòåé.
Ïðèìåð 3. Óêàçàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è íàéòè ïîâåðõíîñ-
òè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=z/(x
2
+ y
2
).
Ðåøåíèå. Äàííîå ïîëå îïðåäåëåíî âñþäó, êðîìå îñè z, ò. å.
êðîìå òî÷åê x=y=0. Ïîëàãàÿ u=C, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïàðàáî-
ëîèäà âðàùåíèÿ âîêðóã îñè z ñ âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò:
z=C(x
2
+ y
2
), C=C
1
, C
2
, ...
       2) ñåìåéñòâîì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ïîëÿ òåìïåðàòóð ïðÿ-
ìîé äëèííîé ðàâíîìåðíî íàãðåòîé íèòè (ýêâèòåìïåðàòóðíûìè
ïîâåðõíîñòÿìè) áóäóò êðóãîâûå êîàêñèàëüíûå öèëèíäðû, îá-
ùàÿ îñü êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ íèòüþ.
       Òàê êàê ôóíêöèÿ u (x, y, z) ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîçíà÷íîé, òî
÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà ïðîõîäèò òîëüêî îäíà ïîâåðõ-
íîñòü óðîâíÿ, ò. å. ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ íå ïåðåñåêàþòñÿ.
       Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì, ò. å., íàïðèìåð,
u = u (x, y), òî åãî ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì áóäóò ëèíèè
óðîâíÿ — ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê íà ïëîñêîñòè xOy, ãäå
u (x, y) = C.
       Ïðèìåð 1. Îïðåäåëèòü ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
u = x2 + y2 + z2 .
       Ðåøåíèå. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì

                           x2 + y2 + z2 = C ,
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñåìåéñòâî ñôåð x2 + y2 + z2 = C2 (C = R1, R2, ...
— ðàäèóñû ñôåð).
     Ïðèìåð 2. Îïðåäåëèòü ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
    ρ ρ         ρ                                        ρ
u = a ⋅ r , ãäå a = {a1 , a 2 , a3} — ïîñòîÿííûé âåêòîð, r = {x, y, z}
— ðàäèóñ-âåêòîð.
     Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ çäåñü èìååò
âèä:
                            ρ ρ
                           a ⋅ r = C,
èëè:
                        a1x + a2y + a3z = C.
Ïîëàãàÿ Ñ = Ñ1, Ñ2, ... , ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïëîñ-
êîñòåé.
     Ïðèìåð 3. Óêàçàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è íàéòè ïîâåðõíîñ-
òè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = z / (x2 + y2).
     Ðåøåíèå. Äàííîå ïîëå îïðåäåëåíî âñþäó, êðîìå îñè z, ò. å.
êðîìå òî÷åê x = y = 0. Ïîëàãàÿ u = C, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïàðàáî-
ëîèäà âðàùåíèÿ âîêðóã îñè z ñ âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò:
                  z = C (x2+ y2), C = C1, C2, ...




                                  9

Страницы