Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

8
1. ÑÊÀËßÐÍÎÅ ÏÎËÅ
Îïðåäåëåíèå. Åñëè â êàæäîé òî÷êå M (x, y, z) íåêîòîðîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà V îïðåäåëåíî çíà÷åíèå ñêàëÿðíîé ôóí-
êöèè u=u(M), òî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîé îáëàñòè çàäà-
íî ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z). Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ôóíêöèÿ u îäíîçíà÷íà è ïðèíèìàåò â îáëàñòè V
êîíå÷íûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé:
T=T(x, y, z) — ïîëå òåìïåðàòóð;
p=p(x, y, z) — ïîëå äàâëåíèé;
ρ
=
ρ
(x, y, z) — ïîëå ïëîòíîñòåé ñðåäû;
ϕ
=
ϕ
(x, y, z) — ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíîå ïîëå u íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè
îíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Åñëè æå u=u(x, y, z, t), òî
ïîëå íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì. Äàëåå, åñëè íå áó-
äåò ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê, ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî
ñòàöèîíàðíûå ïîëÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè ôóíêöèÿ
u çàâèñèò òîëüêî îò äâóõ êîîðäèíàò, íàïðèìåð
u=u(x, y).
1.1. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, ëèíèè óðîâíÿ
Ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z)
ñëóæàò ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u — ýòî ãåî-
ìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ãäå ôóíêöèÿ u èìååò êà-
êîå-ëèáî ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïî-
âåðõíîñòü óðîâíÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì
u (x, y, z) =C, ãäå C=const.
Ýòî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü â ïðî-
ñòðàíñòâå. Ïðèäàâàÿ âåëè÷èíå C çíà÷åíèÿ C
1
, C
2
, ... C
N
, ïîëó÷àåì
ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ â ïðîñòðàíñòâå.
Ïðèìåðû ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ:
1) ñåìåéñòâîì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷-
íîãî çàðÿäà (ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè) ÿâëÿþòñÿ êîí-
öåíòðè÷åñêèå ñôåðû, îáùèé öåíòð êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ çàðÿäîì;
                  1. ÑÊÀËßÐÍÎÅ ÏÎËÅ
Îïðåäåëåíèå. Åñëè â êàæäîé òî÷êå M (x, y, z) íåêîòîðîé îáëàñòè
           ïðîñòðàíñòâà V îïðåäåëåíî çíà÷åíèå ñêàëÿðíîé ôóí-
           êöèè u = u (M), òî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîé îáëàñòè çàäà-
           íî ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z). Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ,
           ÷òî ôóíêöèÿ u îäíîçíà÷íà è ïðèíèìàåò â îáëàñòè V
           êîíå÷íûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
    Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé:
        T = T (x, y, z) —    ïîëå òåìïåðàòóð;
         p = p (x, y, z) —   ïîëå äàâëåíèé;
        ρ = ρ (x, y, z) —    ïîëå ïëîòíîñòåé ñðåäû;
        ϕ = ϕ (x, y, z) —    ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà
                             ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíîå ïîëå u íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè
           îíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Åñëè æå u = u (x, y, z, t), òî
           ïîëå íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì. Äàëåå, åñëè íå áó-
           äåò ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê, ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî
           ñòàöèîíàðíûå ïîëÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè ôóíêöèÿ
           u çàâèñèò òîëüêî îò äâóõ êîîðäèíàò, íàïðèìåð
           u = u (x, y).

             1.1. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, ëèíèè óðîâíÿ
     Ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z)
ñëóæàò ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u — ýòî ãåî-
            ìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ãäå ôóíêöèÿ u èìååò êà-
            êîå-ëèáî ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïî-
            âåðõíîñòü óðîâíÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì
                  u (x, y, z) = C, ãäå C = const.
     Ýòî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü â ïðî-
ñòðàíñòâå. Ïðèäàâàÿ âåëè÷èíå C çíà÷åíèÿ C1, C2, ... CN, ïîëó÷àåì
ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ â ïðîñòðàíñòâå.
     Ïðèìåðû ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ:
     1) ñåìåéñòâîì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷-
íîãî çàðÿäà (ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè) ÿâëÿþòñÿ êîí-
öåíòðè÷åñêèå ñôåðû, îáùèé öåíòð êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ çàðÿäîì;


                                 8

Страницы