Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 13 стр.

Ýòà ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåò «ñêîðîñòü» èçìåíåíèÿ ñêàëÿðíîãî
                                                 ρ
ïîëÿ u â òî÷êå Ì ïî íàïðàâëåíèþ l . Ïðîèçâîäíàÿ (1.2) åñòü
ñêàëÿð, òàê êàê îíà ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû.
     Âûðàæåíèå (1.2) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó, óäîáíîìó äëÿ
ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé. Ðàññìàòðèâàÿ ∂u/∂l êàê ïðîèçâîäíóþ
ñëîæíîé ôóíêöèè, çàïèøåì:

                     ∂ u ∂ u dx ∂ u dy ∂ u dz
                        =      +      +
                     ∂ l ∂ x dl ∂ y dl ∂ z dl .

À òàê êàê
            dx                 dy                 dz
               = cos α = l x ,    = cos β = l y ,    = cos γ = l z ,
            dl                 dl                 dl
                                                    ρ
ãäå α, β è γ — íàïðàâëÿþùèå óãëû åäèíè÷íîãî âåêòîðà l , òî

                       ∂ u ∂ u      ∂ u      ∂ u
                          =    lx +     ly +     l
                       ∂l ∂x        ∂ y      ∂ z z,                    (1.3)

èëè:

                 ∂ u ∂ u         ∂ u         ∂ u
                    =    cos α +     cos β +     cos γ .               (1.4)
                 ∂l ∂x           ∂ y         ∂z

Âñå ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) áåðóòñÿ â òî÷êå Ì.
     Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
   x y
u=   – â òî÷êå Ì (1, 1) ïî íàïðàâëåíèþ ê òî÷êå Ì´(4, 5).
   y x
                                           ρ
    Ðåøåíèå. Åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ l íàõîäèì íîð-
                 ρ
ìèðîâêîé âåêòîðà rMM ′ = {3, 4}:

                            ρ rρ        3 4 
                            l = ρMM ′ =  , 
                                rMM ′  5 5  .
Ïðîèçâîäíûå â òî÷êå Ì (1, 1):

             ∂ u 1  y                      ∂ u    x 1
                = +                 = 2,       =− 2 −         = −2 .
             ∂ x y x2       (1,1)          ∂ y   y    x (1,1)

                                           13