Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

57
∆
ρ
ρ
E
c
E
t
=
1
2
2
2
∂
∂
,
ãäå
∆=∇
2
— îïåðàòîð Ëàïëàñà.
2.7. Òåîðåìà Ñòîêñà. Ôîðìóëà Ãðèíà
Òåîðåìà Ñòîêñà î ïðåîáðàçîâàíèè êîíòóðíîãî èíòåãðàëà â
ïîâåðõíîñòíûé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ â âåêòîðíîì àíàëè-
çå, êàê è òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî.
Òåîðåìà. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
axyz(, ,)
ïî êîíòóðó Ñ
ðàâíà ïîòîêó ðîòîðà ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ
ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì:
ρ
ρ
ρρ ρ
ρ
adl andS adS
CS S
⋅= ⋅ = ⋅
∫∫∫ ∫∫
(rot ) rot
(2.17)
(îáõîä êîíòóðà Ñ è îðèåíòàöèÿ S îáðàçóþò ïðàâûé
âèíò). Ïðè ýòîì äîëæíî áûòü âûïîëíåíî âàæíîå óñ-
ëîâèå: ïîëå
ρ
axyz(, ,)
èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðî-
èçâîäíûå â ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè S è íà êîíòóðå
Ñ.
Åñëè êîíòóð Ñ îõâàòûâàåò áåñêîíå÷íóþ (çàìêíóòóþ) ëè-
íèþ, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîé ïîëå
ρ
a
íå îïðåäåëåíî èëè íå èìååò
ïðîèçâîäíûõ, òî òåîðåìà Ñòîêñà íåïðèìåíèìà, òàê êàê ëþáàÿ
ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì Ñ, îáÿçàòåëüíî ïåðåñå÷åò
ýòó ëèíèþ è óñëîâèå òåîðåìû Ñòîêñà âûïîëíåíî íå áóäåò.
Ïðèìåð 1. Ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayxz
=−
{, , }
2
ïî îêðóæíîñòè x
2
+y
2
=R
2
, z=0, îáõîäÿ åå ïî ïðà-
âîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z .
Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âû÷èñëèì ðîòîð ïîëÿ
ρ
a
:
rot { , , }
ρ
ax=−002 1
.
Ïîâåðõíîñòü S åñòåñòâåííî âûáðàòü ïëîñêîé, â âèäå êðóãà ðàäè-
óñîì R. Íîðìàëü ê ýòîìó êðóãó
ρ
n = {,,}001
, ñëåäîâàòåëüíî,
(rot )
an x⋅= −21
. È òîãäà èñêîìàÿ öèðêóëÿöèÿ
ρ
ρ
ρρ
a dl a ndS x dS R xdS
RR RR
⋅= ⋅ = − =− +
∫∫∫∫∫∫∫
(rot ) ( )
ππ ππ
π
2 22
2
2
21 2
.
                                          ρ
                                  ρ 1 ∂ 2E
                                 ∆E = 2 2 ,
                                     c ∂t
               ãäå ∆ = ∇ 2 — îïåðàòîð Ëàïëàñà.

                2.7. Òåîðåìà Ñòîêñà. Ôîðìóëà Ãðèíà
      Òåîðåìà Ñòîêñà î ïðåîáðàçîâàíèè êîíòóðíîãî èíòåãðàëà â
ïîâåðõíîñòíûé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ â âåêòîðíîì àíàëè-
çå, êàê è òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî.
                                                      ρ
Òåîðåìà.     Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ a ( x , y, z ) ïî êîíòóðó Ñ
             ðàâíà ïîòîêó ðîòîðà ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ
             ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì:
                   ρ ρ             ρ ρ               ρ ρ
                 ∫ a ⋅ dl = ∫∫ (rota ⋅ n )dS = ∫∫ rota ⋅ dS  (2.17)
                   C         S                S

                  (îáõîä êîíòóðà Ñ è îðèåíòàöèÿ S îáðàçóþò ïðàâûé
                  âèíò). Ïðè ýòîì äîëæíî áûòü âûïîëíåíî âàæíîå óñ-
                                   ρ
                  ëîâèå: ïîëå a ( x, y , z ) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðî-
                  èçâîäíûå â ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè S è íà êîíòóðå
                  Ñ.
       Åñëè êîíòóð Ñ îõâàòûâàåò áåñêîíå÷íóþ (çàìêíóòóþ) ëè-
                                                 ρ
íèþ, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîé ïîëå a íå îïðåäåëåíî èëè íå èìååò
ïðîèçâîäíûõ, òî òåîðåìà Ñòîêñà íåïðèìåíèìà, òàê êàê ëþáàÿ
ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì Ñ, îáÿçàòåëüíî ïåðåñå÷åò
ýòó ëèíèþ è óñëîâèå òåîðåìû Ñòîêñà âûïîëíåíî íå áóäåò.
       Ïðèìåð 1. Ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
 ρ
a = { y , x 2 ,− z} ïî îêðóæíîñòè x2 + y2 = R2, z = 0, îáõîäÿ åå ïî ïðà-
âîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z .
                                                             ρ      ρ
       Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âû÷èñëèì ðîòîð ïîëÿ a : rot a = {0,0,2 x − 1} .
Ïîâåðõíîñòü S åñòåñòâåííî âûáðàòü ïëîñêîé, â âèäå êðóãà ðàäè-
                                                     ρ
óñîì R. Íîðìàëü ê ýòîìó êðóãó n = {0,0,1} , ñëåäîâàòåëüíî,
     ρ ρ
(rot a ) ⋅ n = 2 x − 1 . È òîãäà èñêîìàÿ öèðêóëÿöèÿ
                ρ ρ            ρ ρ
             ∫ a ⋅ dl = ∫∫ (rota ) ⋅ ndS = ∫∫ (2x − 1)dS = −πR2 + 2 ∫∫ xdS .
         2πR       πR 2             πR 2                   πR 2




                                     57

Страницы