Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 58 стр.

     Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëèòü, çàïèñàâ ýëåìåíò ïëî-
ùàäè dS êàê ôóíêöèþ x. Äëÿ ýòîãî íàäî ðàçáèòü êðóã πR2 íà
óçêèå ïîëîñêè äëèíîé

                            l = 2 R2 − x 2
è øèðèíîé dx (ðèñ. 12). Òîãäà
                               R

                    ∫∫ xdS = 2 ∫ x    R2 − x 2 dx = 0 .
                    πR 2       −R

Âïðî÷åì, ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî áûëî áû ïðåäñêàçàòü ñðàçó, ïî-
ñêîëüêó ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë áåðåòñÿ îò íå÷åòíîé ôóíêöèè
ïî ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò îáëàñòè.
     Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ öèðêóëÿöèÿ ðàâíà -πR2.




                                Ðèñ. 12

     Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
                ρ  y           
                a = − 2 , x2 ,0 , ãäå ρ 2 = x 2 + y 2 ,
                     ρ   ρ     
âäîëü îêðóæíîñòè x2+ y2 = R2, z = 0.
     Ðåøåíèå. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå öèðêóëÿöèè ñ ïî-
ìîùüþ çàìåí x = Rcosϕ, y = Rsinϕ, z = 0 äàåò çíà÷åíèå 2π (ñì. çà-
äà÷ó 2.98). Âû÷èñëåíèå æå ïî òåîðåìå Ñòîêñà (2.17) äàåò íîëü,
             ρ
òàê êàê rot a = 0 (ñì. çàäà÷ó 2.111). Íî ïîñêîëüêó êîíòóð Ñ â
                                                  ρ
äàííîì ñëó÷àå îõâàòûâàåò îñü z , íà êîòîðîé ïîëå a íå îïðåäåëå-
íî (ρ = 0), òî çäåñü íå âûïîëíåíî óñëîâèå òåîðåìû Ñòîêñà, òàê
êàê ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííàÿ äàííûì êîíòóðîì, îáÿçà-
òåëüíî áóäåò ïåðåñåêàòü îñü z . Òàê ÷òî òåîðåìó Ñòîêñà äëÿ ýòîãî




                                     58