Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

63
3. ÒÈÏÛ ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÏÎËÅÉ
3.1. Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå. Ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë
Âîçüìåì êàêîå-ëèáî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ñêà-
ëÿðíîå ïîëå
ϕ
(x, y, z) è îáðàçóåì èç íåãî âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
îïå-
ðàöèåé ∇:
ρ
a =−∇
ϕ
. Òàêîå âåêòîðíîå ïîëå áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîòåí-
öèàëüíûì ïî îïðåäåëåíèþ.
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå
ρ
axyz(, ,)
, çàäàííîå â îáëàñòè V,
íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îä-
íîçíà÷íàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ
ϕ
, ÷òî ïîëå
ρ
a
â ýòîé
îáëàñòè ïðåäñòàâèìî â âèäå
ρ
a =−∇
ϕ
, (3.1)
ò. å. åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ÷üèì-òî ãðàäèåíòîì. Ôóíêöèÿ
ϕ
(x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîìó óñëîâèþ, íàçûâà-
åòñÿ ïîòåíöèàëîì âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
.
Êîììåíòàðèè
1. Çíàê «-» â îïðåäåëåíèè (3.1) ââåäåí äëÿ óäîáñòâà è
âûðàæàåò òî, ÷òî ëèíèè ïîëÿ
ρ
a
íàïðàâëåíû â ñòîðî-
íó óáûâàíèÿ ïîòåíöèàëà. Òàê íàïðèìåð, òåïëî ðàñ-
ïðîñòðàíÿåòñÿ â ñòîðîíó óáûâàíèÿ òåìïåðàòóðû, æèä-
êîñòü òå÷åò â ñòîðîíó óáûâàíèÿ äàâëåíèÿ.
2. Èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) âèäíî, ÷òî åñëè âìåñòî
ϕ
âçÿòü
ôóíêöèþ
ϕ
*
=
ϕ
+Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿí-
íàÿ, òî ∇
ϕ
*
= ∇
ϕ
, ò. å. çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
èìååò íå âïîëíå îïðåäåëåííûé ïîòåíöèàë. Â ñâÿçè ñ
ýòèì ãîâîðÿò, ÷òî ïîòåíöèàë
ϕ
îïðåäåëÿåòñÿ ïîëåì
ρ
a
ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé.
3. Ëþáàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ
ϕ
(x,y,z) ÿâëÿåòñÿ ÷üèì-ëèáî ïîòåíöèàëîì, ò. å. ïî-
ðîæäàåò îïðåäåëåííîå ïîòåíöèàëüíîå ïîëå
ρ
a
ïî ôîð-
ìóëå (3.1), íî íå äëÿ ëþáîãî ïîëÿ
ρ
a
ñóùåñòâóåò
           3. ÒÈÏÛ ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÏÎËÅÉ

        3.1. Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå. Ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë
    Âîçüìåì êàêîå-ëèáî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ñêà-
                                                            ρ
ëÿðíîå ïîëå ϕ (x, y, z) è îáðàçóåì èç íåãî âåêòîðíîå ïîëå a îïå-
          ρ
ðàöèåé ∇: a = −∇ϕ . Òàêîå âåêòîðíîå ïîëå áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîòåí-
öèàëüíûì ïî îïðåäåëåíèþ.
                                  ρ
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) , çàäàííîå â îáëàñòè V,
           íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îä-
                                                          ρ
           íîçíà÷íàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ϕ , ÷òî ïîëå a â ýòîé
           îáëàñòè ïðåäñòàâèìî â âèäå
                             ρ
                             a = −∇ϕ ,                       (3.1)
            ò. å. åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ÷üèì-òî ãðàäèåíòîì. Ôóíêöèÿ
            ϕ (x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîìó óñëîâèþ, íàçûâà-
                                                 ρ
            åòñÿ ïîòåíöèàëîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a .

                         Êîììåíòàðèè
         1. Çíàê «-» â îïðåäåëåíèè (3.1) ââåäåí äëÿ óäîáñòâà è
                                           ρ
            âûðàæàåò òî, ÷òî ëèíèè ïîëÿ a íàïðàâëåíû â ñòîðî-
            íó óáûâàíèÿ ïîòåíöèàëà. Òàê íàïðèìåð, òåïëî ðàñ-
            ïðîñòðàíÿåòñÿ â ñòîðîíó óáûâàíèÿ òåìïåðàòóðû, æèä-
            êîñòü òå÷åò â ñòîðîíó óáûâàíèÿ äàâëåíèÿ.
         2. Èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) âèäíî, ÷òî åñëè âìåñòî ϕ âçÿòü
            ôóíêöèþ ϕ* = ϕ + Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿí-
                                                              ρ
            íàÿ, òî ∇ϕ* = ∇ϕ , ò. å. çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå a
            èìååò íå âïîëíå îïðåäåëåííûé ïîòåíöèàë. Â ñâÿçè ñ
            ýòèì ãîâîðÿò, ÷òî ïîòåíöèàë ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ïîëåì
             ρ
            a ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé.
         3. Ëþáàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ
            ϕ(x,y,z) ÿâëÿåòñÿ ÷üèì-ëèáî ïîòåíöèàëîì, ò. å. ïî-
                                                      ρ
            ðîæäàåò îïðåäåëåííîå ïîòåíöèàëüíîå ïîëå a ïî ôîð-
                                                   ρ
            ìóëå (3.1), íî íå äëÿ ëþáîãî ïîëÿ a ñóùåñòâóåò


                               63

Страницы