Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

64
ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ
ϕ
, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøå-
íèþ (3.1).
4. Âñå òðè êîìïîíåíòû ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ïîëíîñ-
òüþ îïðåäåëÿþòñÿ îäíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé
ϕ
(ïî-
òåíöèàëîì ýòîãî ïîëÿ):
a
x
x
=−
∂ϕ
∂
,
a
y
y
=−
∂ϕ
∂
,
a
z
z
=−
∂ϕ
∂
,
òîãäà êàê äëÿ çàäàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
ñëóæàò òðè íåçàâèñèìûå ñêàëÿðíûå ôóíêöèè:
a
x
(x, y, z), a
y
(x, y, z), a
z
(x, y, z).
Ñâîéñòâà ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ
1. Ðàáîòà ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ
ρ
ρ
adl⋅
∫
1
2
íå çàâèñèò îò
ôîðìû êðèâîé 1—2, à òîëüêî îò êîîðäèíàò òî÷åê 1
è 2.
2. Öèðêóëÿöèÿ ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ïî ëþáîìó êîí-
òóðó ðàâíà íóëþ.
3. Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ áåçâèõðåâûì, ò. å.
rot
ρ
a = 0
. Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) è ëåãêî
ïîäòâåðæäàåìîãî òîæäåñòâà
rot grad
ϕ
≡ 0
, èëè
∇×∇
ϕ
≡ 0.
Êðèòåðèè ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ
Êðèòåðèé 1.Åñëè öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
ïî ëþáîìó êîí-
òóðó ðàâíà íóëþ, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì.
Êðèòåðèé 2.Åñëè â ëþáîé òî÷êå îäíîñâÿçíîé îáëàñòè V*
rot
ρ
a ≡ 0
,
òî ïîëå
ρ
a
ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì â ýòîé îáëàñòè.
Åñëè æå îáëàñòü V íåîäíîñâÿçíà, òî óñëîâèÿ
rot
ρ
a ≡ 0
______________
* Îáëàñòü V òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿçíîé,
åñëè íà ëþáîé êîíòóð Ñ â ýòîé îáëàñòè ìîæíî íàòÿíóòü ïîâåðõíîñòü,
öåëèêîì ëåæàùóþ â îáëàñòè V.
            ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ϕ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøå-
            íèþ (3.1).
         4. Âñå òðè êîìïîíåíòû ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ïîëíîñ-
            òüþ îïðåäåëÿþòñÿ îäíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé ϕ (ïî-
            òåíöèàëîì ýòîãî ïîëÿ):
                            ∂ϕ a = − ∂ϕ                ∂ϕ
                 ax = −         , y
                                           ∂y , az = − ∂z ,
                            ∂x
            òîãäà êàê äëÿ çàäàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
            ñëóæàò òðè íåçàâèñèìûå ñêàëÿðíûå ôóíêöèè:
            ax (x, y, z), ay (x, y, z), az (x, y, z).

                Ñâîéñòâà ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ
                                           2
                                               ρ ρ
         1. Ðàáîòà ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ     ∫ a ⋅ dl   íå çàâèñèò îò
                                           1

            ôîðìû êðèâîé 1—2, à òîëüêî îò êîîðäèíàò òî÷åê 1
            è 2.
         2. Öèðêóëÿöèÿ ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ïî ëþáîìó êîí-
            òóðó ðàâíà íóëþ.
         3. Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ áåçâèõðåâûì, ò. å.
                ρ
            rot a = 0 . Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) è ëåãêî
            ïîäòâåðæäàåìîãî òîæäåñòâà rot grad ϕ ≡ 0 , èëè
            ∇×∇ϕ ≡ 0.

               Êðèòåðèè ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ
                                             ρ
Êðèòåðèé 1.Åñëè öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ a ïî ëþáîìó êîí-
           òóðó ðàâíà íóëþ, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì.
                                                          ρ
Êðèòåðèé 2.Åñëè â ëþáîé òî÷êå îäíîñâÿçíîé îáëàñòè V * rot a ≡ 0 ,
                   ρ
           òî ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì â ýòîé îáëàñòè.
                                                           ρ
           Åñëè æå îáëàñòü V íåîäíîñâÿçíà, òî óñëîâèÿ rot a ≡ 0


______________
     * Îáëàñòü V òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿçíîé,
åñëè íà ëþáîé êîíòóð Ñ â ýòîé îáëàñòè ìîæíî íàòÿíóòü ïîâåðõíîñòü,
öåëèêîì ëåæàùóþ â îáëàñòè V.


                               64

Страницы