Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 66 стр.

ãäå ρ2 = x2 + y2, k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò. Óñòàíîâèòü, ÿâëÿåò-
ñÿ ëè ýòî ïîëå ïîòåíöèàëüíûì.
      Ðåøåíèå. Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ êðèòåðèÿ 2 äàåò:
                          ρ            ρ            ρ
                     (rot E ) x = (rot E ) y = (rot E ) z = 0 .
                             ρ
Îäíàêî íà îñè z ïîëå E íå ñóùåñòâóåò, ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü
                        ρ
îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ E ÿâëÿåòñÿ íåîäíîñâÿçíîé, è ïîýòîìó çäåñü
íóæíà ïðîâåðêà êðèòåðèåì 1. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì êîíòóð Ñ â âèäå
îêðóæíîñòè, îõâàòûâàþùåé îñü z : x = Rcosα, y = Rsinα. Òîãäà
     ρ   ρ                           2π
                                         R cos αR sin α + R sin αR cos α  dα = 0
 ∫ E ⋅ dl = ∫ ( Ex dx + E y dy ) = k ∫  −     R2               R2                .
 C           C                        0
                    ρ
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå E ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì âî âñåì ïðî-
ñòðàíñòâå.

                             Âû÷èñëåíèå ïîòåíöèàëà
     Êàê îòìå÷àëîñü â êîììåíòàðèè 2 ê îïðåäåëåíèþ (3.1), ïî-
                  ρ
òåíöèàë ϕ ïîëÿ a îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòî-
ÿííîé. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåäñòàâèòü ïîòåíöèàë ϕ îäíîçíà÷íîé
ôóíêöèåé êîîðäèíàòû òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå, ò. å. ϕ = ϕ (x, y, z),
îäíó èç òî÷åê â ïðîñòðàíñòâå ôèêñèðóþò, ñ÷èòàÿ åå áàçîâîé
òî÷êîé Ì0 è ïîëàãàÿ ϕ (Ì0) = 0. Òîãäà ïîòåíöèàë ïðîèçâîëüíîé
                                               ρ
òî÷êè M (x, y, z) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàáîòà ïîëÿ a îò òî÷êè Ì äî
áàçîâîé Ì0 ïî ëþáîìó ïóòè (ïîñêîëüêó ðàáîòà ïîòåíöèàëüíîãî
ïîëÿ íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè):
                                              M0
                                                   ρ ρ
                                     ϕM =     ∫    a ⋅ dl .                     (3.2)
                                              M

Áàçîâóþ òî÷êó Ì0 âûáèðàþò îáû÷íî ëèáî â íà÷àëå êîîðäèíàò,
          ρ
åñëè ïîëå a òàì ñóùåñòâóåò, ëèáî â áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè ïðàêòè-
÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ ïîòåíöèàëîâ ïîëåé ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñ-
òåì áàçîâóþ òî÷êó âûáèðàþò íà çåìëå, íà êîðïóñàõ ïðèáîðîâ,
íà êàêèõ-ëèáî ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ.
                                                    ρ
     Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå a ÿâëÿåò-
ñÿ ïîòåíöèàëüíûì, ò. å. âûïîëíåí êàêîé-ëèáî êðèòåðèé åãî ïî-



                                              66