Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

68
Ðåøåíèå. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöè-
àëüíûì, òàê êàê åãî ðîòîð ðàâåí íóëþ, à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
ïîëÿ
ρ
a
îäíîñâÿçíà. Òîãäà ïî ôîðìóëå (3.3) ïîëó÷àåì:
ϕ
(, ,)xyzyzdxdydzxyz
xzy
=++=−
∫∫∫
000
00
.
Ñïîñîá 2. Ñîñòàâëåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà.
Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîëå
ρ
a
ïîòåíöèàëüíî. Òîãäà
â ñèëó (3.1) ìîæíî çàïèñàòü:
d
x
dx
y
dy
z
dz a dx a dy a dz
xyz
ϕ
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
=++=−++
()
. (3.4)
Åñëè èç êîìïîíåíò ïîëÿ
ρ
a
â ïðàâîé ÷àñòè (3.4)
óäàñòñÿ ñîñòàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî îí è
áóäåò ÿâëÿòüñÿ èñêîìûì ïîòåíöèàëîì
ϕ
(x, y, z) âåê-
òîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
.
Ïðèìåð 4. Ïóñòü
ρρ
ar xyz=={, ,}
. Òîãäà
d xdx ydy zdz
dx y z
d
r
ϕ
=− + + =−
++
=−
()
()
222
2
22
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
ϕ
=− +
r
C
2
2
.
Åñëè ïðè r = 0 ïîòåíöèàë
ϕ
= 0, òî Ñ = 0 è òîãäà
ϕ
=-r
2
/2.
Ñïîñîá 3. Âàðèàíò öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ.
Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå
ρ
a
ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèì-
ìåòðè÷íûì, ò. å.
ρρρ ρ
aar frr==() ()
, ãäå f(r) — ïðîèç-
âîëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, çà-
âèñÿùàÿ òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ òî÷êè äî íà÷àëà êîîð-
äèíàò. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðîòîð ýòîãî ïîëÿ ðà-
âåí íóëþ. À òàê êàê îáëàñòü åãî ñóùåñòâîâàíèÿ îäíî-
ñâÿçíà, òî â ñèëó êðèòåðèÿ 2 ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ
ïîòåíöèàëüíûì.
 ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòî ïîëå çàïèñû-
âàåòñÿ â âèäå
ρρ
afrre
r
= ()
, ãäå
ρ
e
r
— åäèíè÷íûé ðàäè-
    Ðåøåíèå. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöè-
àëüíûì, òàê êàê åãî ðîòîð ðàâåí íóëþ, à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
     ρ
ïîëÿ a îäíîñâÿçíà. Òîãäà ïî ôîðìóëå (3.3) ïîëó÷àåì:
                              0         0             0
                 ϕ ( x, y, z ) = ∫ yzdx + ∫ 0dy + ∫ 0dz = − xyz .
                              x         y             z

Ñïîñîá 2. Ñîñòàâëåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà.
                                        ρ
           Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîëå a ïîòåíöèàëüíî. Òîãäà
           â ñèëó (3.1) ìîæíî çàïèñàòü:
             ∂ϕ      ∂ϕ      ∂ϕ
          dϕ =  dx +    dy +     dz = −(a x dx + a y dy + az dz ) . (3.4)
             ∂x      ∂y      ∂z
                                             ρ
          Åñëè èç êîìïîíåíò ïîëÿ a â ïðàâîé ÷àñòè (3.4)
          óäàñòñÿ ñîñòàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî îí è
          áóäåò ÿâëÿòüñÿ èñêîìûì ïîòåíöèàëîì ϕ (x, y, z) âåê-
                          ρ
          òîðíîãî ïîëÿ a .
                      ρ ρ
     Ïðèìåð 4. Ïóñòü a = r = {x , y , z} . Òîãäà
                                                d(x2 + y2 + z2 )
                                                                 = − d  r  .
                                                                           2
         dϕ = −( xdx + ydy + zdz ) = −
                                                      2                  2
Ñëåäîâàòåëüíî,

                         ϕ =−r +C.
                                            2

                                 2
Åñëè ïðè r = 0 ïîòåíöèàë ϕ = 0, òî Ñ = 0 è òîãäà ϕ = -r2/2.
Ñïîñîá 3. Âàðèàíò öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ.
                                      ρ
           Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå a ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèì-
                              ρ ρρ               ρ
           ìåòðè÷íûì, ò. å. a = a ( r ) = f ( r )r , ãäå f(r) — ïðîèç-
           âîëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, çà-
           âèñÿùàÿ òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ òî÷êè äî íà÷àëà êîîð-
           äèíàò. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðîòîð ýòîãî ïîëÿ ðà-
           âåí íóëþ. À òàê êàê îáëàñòü åãî ñóùåñòâîâàíèÿ îäíî-
           ñâÿçíà, òî â ñèëó êðèòåðèÿ 2 ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ
           ïîòåíöèàëüíûì.
            ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòî ïîëå çàïèñû-
                         ρ           ρ        ρ
           âàåòñÿ â âèäå a = f ( r )rer , ãäå er — åäèíè÷íûé ðàäè-



                                       68

Страницы