Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 69 стр.

                àëüíûé âåêòîð. Òîãäà åäèíñòâåííàÿ ðàäèàëüíàÿ êîì-
                                         ρ
                ïîíåíòà ar = f (r)r ïîëÿ a ñâÿçàíà ñ ïîòåíöèàëîì ϕ
                ñîîòíîøåíèåì
                                                   ∂ϕ
                              ar = −(∇ϕ )r = −          ,
                                                   ∂r
                îòêóäà
                         ϕ = − ∫ ar dr = − ∫ f (r )rdr + C .
            Êîíñòàíòà Ñ îïðåäåëÿåòñÿ èç ïîñòóëèðóåìîãî çíà÷å-
            íèÿ ϕ (0) èëè ϕ (∞) è îáû÷íî îêàçûâàåòñÿ íóëåâîé.
                                                        ρ  ρ
      Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë ãóêîâñêîãî ïîëÿ a = − kr .
                                     ρ       ρ
      Ðåøåíèå.  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå a = − krer . Òîãäà

                       ϕ = ∫ krdr = k r + C .
                                               2

                                      2
Ïîëàãàÿ ϕ (0) = 0, ïîëó÷èì Ñ = 0, è òîãäà ϕ = kr2/2.
      Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë êóëîíîâñêîãî ïîëÿ
ρ ρ 3
a = r / (r ) .
                                        ρ ρ             ρ
      Ðåøåíèå.  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå a = rer / (r 3 ) = er / (r 2 ) . Òîãäà

                        ϕ = − ∫ dr2 = 1 + C .
                                r     r
Ïîëàãàÿ ϕ (∞) = 0, ïîëó÷èì Ñ = 0, è òîãäà ϕ = 1/r. Çäåñü ïîòåíöè-
àë ϕ îïðåäåëåí îòíîñèòåëüíî áåñêîíå÷íîñòè, òàê êàê â íóëå îí
íå ñóùåñòâóåò.

                                    Çàäà÷è
     • Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ïîòåíöèàëüíûìè ñëåäóþùèå âåê-
òîðíûå ïîëÿ, è åñëè äà, òî âû÷èñëèòü èõ ïîòåíöèàëû îòíîñè-
òåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò èëè áåñêîíå÷íîñòè:
            ρ                                            ρ
       3.1. a = {xz ,2 y , xy} ;                    3.5. a = { yz + 1, xz , xy} ;
            ρ                                            ρ
       3.2. a = {2xy + z 2,2 yz + x 2,2 xz + y 2} ; 3.6. a = {− y , x ,0} ;
            ρ                                            ρ
       3.3. a = {x 3, y 3, xz 3} ;                  3.7. a = { y, x ,0} ;
            ρ                                            ρ
       3.4. a = {2xyz, x 2 z, x 2 y} ;              3.8. a = { y, x, ez} ;
                ρ
         3.9.   a = { y + z, x + z, x + y} ;

                                        69