Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 71 стр.

           k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò (ðèñ. 14). Âû÷èñëèòü ïî-
           òåíöèàë ýòîãî ïîëÿ íà âñåé îñè x îòíîñèòåëüíî òî÷êè
           x = 0.




                                 Ðèñ. 14

      3.17. Ïóñòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ V ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ
             ρ
            a ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò, ïðè÷åì ëþáàÿ òî÷êà
            M (x, y, z) ýòîé îáëàñòè ìîæåò áûòü ñîåäèíåíà ñ íà-
            ÷àëîì êîîðäèíàò îòðåçêîì ïðÿìîé, öåëèêîì ïðè-
            íàäëåæàùèì V. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ïî-
                               ρ
            òåíöèàë ϕ ïîëÿ a â òî÷êå M (x, y, z) îòíîñèòåëüíî
            íà÷àëà êîîðäèíàò Î ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
                                 0
                                    ρ         ρ
                       ϕ ( M ) = ∫ (a( M ′) ⋅ r )dt ,
                                 1
                ρ
            ãäå r — ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M (x, y, z), à òî÷êà
            M´(tx, ty, tz) ïðè èçìåíåíèè t îò 1 äî 0 ïðîáåãàåò îò
            òî÷êè Ì äî Î ïî ïðÿìîé.

       3.2. Ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
                              ρ
Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) , çàäàííîå â îáëàñòè V,
           íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â ýòîé îáëàñòè, åñëè ñó-
                                                 ρ
           ùåñòâóåò òàêîå âåêòîðíîå ïîëå A( x , y , z ) , äëÿ êîòî-
            ðîãî
                               ρ       ρ
                               a = rot A ,                    (3.5)




                                     71