Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 73 стр.

      Ïðèìåð 1. Ïóñòü â íà÷àëå êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé
                                     ρ ρ
èñòî÷íèê, ñîçäàþùèé ïîëå a = r / r 3 . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî
ïîëå ñîëåíîèäàëüíî âñþäó, êðîìå òî÷êè (0, 0, 0), ãäå îíî íå
                          ρ
îïðåäåëåíî, ò. å. div a = 0 ïðè r ≠ 0. È ïóñòü çàäàí êîíòóð Ñ:
x2 + y2 = R2, z = h (ðèñ. 15). Òîãäà
                          ρ ρ         ρ ρ         ρ ρ
                       ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ a ⋅ dS ≠ ∫∫ a ⋅ dS ,
                     1 S      2    S     3     S

òàê êàê îáëàñòü ìåæäó S1 è S2 íå ñîäåðæèò èñòî÷íèêîâ, à îáëàñòü
ìåæäó S1 è S3 ñîäåðæèò.




                              Ðèñ. 15
                                    ρ ρ ρ                  ρ
      Ïðèìåð 2. Çàäàíî ïîëå a = (c × r ) / r 3 , ãäå c — ïîñòîÿííûé
                                            ρ
âåêòîð. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî div a = 0 ïðè r ≠ 0, ò. å., êàê è â
ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ýòî ïîëå ñîëåíîèäàëüíî âñþäó, êðîìå òî÷êè
(0, 0, 0), ãäå îíî íå îïðåäåëåíî. Íî ó ýòîãî ïîëÿ èñòî÷íèêîâ íåò.
Äëÿ ïðîâåðêè îòñóòñòâèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà â òî÷êå (0,0,0)
äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ìàëóþ ñôåðó, îõ-
âàòûâàþùóþ òî÷êó (0, 0, 0), è óáåäèòüñÿ, ÷òî îí ðàâåí íóëþ,
ïîñêîëüêó âñþäó íà ýòîé ñôåðå êîìïîíåíòà ar = 0. Ñëåäîâàòåëü-
íî, äëÿ ëþáîãî êîíòóðà Ñ (ðèñ. 15)
                          ρ ρ         ρ ρ         ρ ρ
                       ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ a ⋅ dS .
                    S1       S2         S3




                                  73