Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

72
ò. å. åñëè ïîëå
ρ
a
ÿâëÿåòñÿ ðîòîðîì êàêîãî-òî äðóãîãî
ïîëÿ. Ïîëå
ρ
A
ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïî-
òåíöèàëîì èñõîäíîãî ïîëÿ
ρ
a
*.
Èç (3.5) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
ρ
A
çàäàííîãî
ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ
ρ
a
îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñ-
òüþ äî ãðàäèåíòà ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè y (x, y, z). Äåé-
ñòâèòåëüíî, ïîëå
ρρ
′
=+∇AA()
ψ
òàêæå áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåêòîðíûì
ïîòåíöèàëîì ïîëÿ
ρ
a
, ïîñêîëüêó
rot rot( ) rot rot rot
ρρ ρ ρ
ρ
ρ
′
=+∇=+∇=+=AA A Aa
ψψ
0
.
Çàìå÷àíèå. Ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë
ϕ
ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ
ρ
a
îï-
ðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé êîíñòàíòû Ñ,
òàê êàê ∇ (
ϕ
+ Ñ)=∇
ϕ
.
Ñâîéñòâà ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ
1. Åñëè âñþäó âíóòðè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S ïîëå
ρ
a
ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, òî
ρ
ρ
adS
S
⋅=
∫∫
0
.
2. Ïîòîê ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç äâå ëþáûå ïî-
âåðõíîñòè S
1
è S
2
, îãðàíè÷åííûå îáùèì êîíòóðîì
Ñ, îäèíàêîâ ïðè óñëîâèè, ÷òî â îáëàñòè V ìåæäó S
1
è S
2
íåò èñòî÷íèêîâ.
______________
* Ðàíåå, â ðàçäåëå 2.3, áûëî äàíî äðóãîå îïðåäåëåíèå ñîëåíîè-
äàëüíîãî ïîëÿ: ýòî ïîëå, äëÿ êîòîðîãî
div
ρ
a ≡ 0
â íåêîòîðîé îáëàñòè
V. Ìîæíî äîêàçàòü [1, 2], ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû, ò. å. åñëè
ïîëå
ρ
a
ïðåäñòàâèìî â âèäå (3.5), òî
div
ρ
a ≡ 0
(ýòî ñëåäóåò èç òîãî,
÷òî
divrot
A ≡ 0
), à åñëè â îáëàñòè V
div
ρ
a ≡ 0
, òî äëÿ ïîëÿ
ρ
a
âñåãäà
ìîæíî ïîäîáðàòü ïîëå
ρ
A
òàêîå, ÷òî
rot
ρ
ρ
Aa
=
.
                                ρ
             ò. å. åñëè ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ðîòîðîì êàêîãî-òî äðóãîãî
                              ρ
             ïîëÿ. Ïîëå A ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïî-
                                                ρ
             òåíöèàëîì èñõîäíîãî ïîëÿ a *.
                                                               ρ
     Èç (3.5) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A çàäàííîãî
                            ρ
ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñ-
òüþ äî ãðàäèåíòà ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè y (x, y, z). Äåé-
                     ρ      ρ
ñòâèòåëüíî, ïîëå A ′ = ( A + ∇ψ ) òàêæå áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåêòîðíûì
                        ρ
ïîòåíöèàëîì ïîëÿ a , ïîñêîëüêó
              ρ         ρ              ρ                ρ ρ ρ
          rot A′ = rot( A + ∇ψ ) = rot A + rot ∇ψ = rot A + 0 = a .
                                                                    ρ
Çàìå÷àíèå. Ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ϕ ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ a îï-
             ðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé êîíñòàíòû Ñ,
             òàê êàê ∇ (ϕ + Ñ) = ∇ϕ.

                  Ñâîéñòâà ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ
                                                            ρ
          1. Åñëè âñþäó âíóòðè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S ïîëå a
             ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, òî
                              ρ ρ
                           ∫∫ a ⋅ dS = 0 .
                              S
                                         ρ
          2. Ïîòîê ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a ÷åðåç äâå ëþáûå ïî-
             âåðõíîñòè S1 è S2, îãðàíè÷åííûå îáùèì êîíòóðîì
             Ñ, îäèíàêîâ ïðè óñëîâèè, ÷òî â îáëàñòè V ìåæäó S1
             è S2 íåò èñòî÷íèêîâ.




______________
     * Ðàíåå, â ðàçäåëå 2.3, áûëî äàíî äðóãîå îïðåäåëåíèå ñîëåíîè-
                                              ρ
äàëüíîãî ïîëÿ: ýòî ïîëå, äëÿ êîòîðîãî div a ≡ 0 â íåêîòîðîé îáëàñòè
V. Ìîæíî äîêàçàòü [1, 2], ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû, ò. å. åñëè
      ρ                                    ρ
ïîëå a ïðåäñòàâèìî â âèäå (3.5), òî div a ≡ 0 (ýòî ñëåäóåò èç òîãî,
          ρ                               ρ                   ρ
÷òî divrot A ≡ 0 ), à åñëè â îáëàñòè V div a ≡ 0 , òî äëÿ ïîëÿ a âñåãäà
                         ρ                ρ       ρ
ìîæíî ïîäîáðàòü ïîëå A òàêîå, ÷òî rot A = a .


                                  72

Страницы