Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

74
Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
Åñëè ñîëåíîèäàëüíîñòü çàäàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
â îá-
ëàñòè V óñòàíîâëåíà, ò. å. íàéäåíî, ÷òî
div
ρ
a = 0
â îáëàñòè V, òî
ïîñòðîåíèå åãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
ñîñòîèò â îòûñêàíèè
êàêîãî-ëèáî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ (3.5), êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî òðåì ñêàëÿðíûì
∂
∂
∂
∂
A
y
A
z
a
z
y
x
−=
,
∂
∂
∂
∂
A
z
A
x
a
xz
y
−=
,
∂
∂
∂
∂
A
x
A
y
a
y
x
z
−=
. (3.6)
Êîìïîíåíòû A
x
(x, y, z), A
y
(x, y, z), A
z
(x, y, z) âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì (3.6), ìîãóò áûòü íàéäåíû ñëå-
äóþùèì îáðàçîì.
Ïîëüçóÿñü îòíîñèòåëüíûì ïðîèçâîëîì âûáîðà âåêòîðà
ρ
A
,
ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû A
x
= 0. Òîãäà ñèñòåìà (3.6) ïðèìåò âèä:
а
б
в
)
)
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
A
y
A
z
a
A
x
a
A
x
a
z
y
x
z
y
y
z
−=
=−
=
,
,
.
(3.7)
Èç (3.7á) è (3.7â) èìååì:
а
б
)
)
Axyz a xyzdx Cyz
Axyz axyzdx Cyz
zy
yz
(, ,) (, ,) (,),
(, ,) (, ,) (,),
=− +
=+
∫
∫
1
2
(3.8)
ãäå C
1
(y, z) è C
2
(y, z) — ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóí-
êöèè, íî òàêèå, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü óðàâíåíèå (3.7à). Ïîýòî-
ìó îäíó èç íèõ âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, íàïðèìåð
Ñ
2
, òàê ÷òî
Aadx
yz
=
∫
. (3.9)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè C
1
(y, z), à çàòåì è ïîñëåäíåé êîìïî-
íåíòû A
z
, ïîäñòàâèì (3.8à) è (3.9) â óðàâíåíèå (3.7à):
−+−=
∫∫
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
adx
C
yz
adx a
yzx
1
;
                Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
                                                          ρ
     Åñëè ñîëåíîèäàëüíîñòü çàäàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ a â îá-
                                            ρ
ëàñòè V óñòàíîâëåíà, ò. å. íàéäåíî, ÷òî div a = 0 â îáëàñòè V, òî
                                         ρ
ïîñòðîåíèå åãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A ñîñòîèò â îòûñêàíèè
êàêîãî-ëèáî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ (3.5), êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî òðåì ñêàëÿðíûì
                ∂Az ∂Ay           ∂A ∂A               ∂A ∂A
                   −      = ax , x − z = a y , y − x = az .          (3.6)
                ∂y    ∂z           ∂z     ∂x          ∂x   ∂y
Êîìïîíåíòû Ax (x, y, z), Ay (x, y, z), Az (x, y, z) âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
 ρ
 A , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì (3.6), ìîãóò áûòü íàéäåíû ñëå-
äóþùèì îáðàçîì.
                                                                        ρ
      Ïîëüçóÿñü îòíîñèòåëüíûì ïðîèçâîëîì âûáîðà âåêòîðà A ,
ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû Ax = 0. Òîãäà ñèñòåìà (3.6) ïðèìåò âèä:

                                  ∂Az ∂Ay           
                                      −      = ax ,
                               а) ∂ y   ∂ z
                                      ∂Az           
                               б)           = −a y ,
                                       ∂x
                                        ∂Ay                                  (3.7)
                               в)             = az .
                                        ∂x           

Èç (3.7á) è (3.7â) èìååì:

                 а ) Az ( x, y, z ) = −∫ a y ( x, y, z )dx + C1( y, z ),
                                                                             (3.8)
                 б ) Ay ( x, y, z ) = ∫ az ( x, y, z )dx + C2( y, z ),
ãäå C1 (y, z) è C2 (y, z) — ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóí-
êöèè, íî òàêèå, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü óðàâíåíèå (3.7à). Ïîýòî-
ìó îäíó èç íèõ âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, íàïðèìåð
Ñ2, òàê ÷òî

                                   Ay = ∫ az dx .                            (3.9)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè C1 (y, z), à çàòåì è ïîñëåäíåé êîìïî-
íåíòû Az , ïîäñòàâèì (3.8à) è (3.9) â óðàâíåíèå (3.7à):
                        ∂ a dx + ∂C1 − ∂ a dx = a
                        ∂y ∫ y   ∂y ∂z ∫ z
                    −                             x ;




                                          74

Страницы