Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

75
îòñþäà
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Cyz
yy
adx
z
adx a
yzx
1
(,)
=++
∫∫
. (3.10)
Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (3.10) íå çàâèñèò îò x.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü åå ïî x è ó÷åñòü, ÷òî
div
ρ
a = 0
:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xy
adx
z
adx a
yzx
++
=
∫∫
=
+
+=++=
∫∫
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
yx
adx
zx
adx
a
x
a
y
a
z
a
x
yz
x
y
zx
0
.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè
div
ρ
a ≠ 0
, òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë äëÿ
ïîëÿ
ρ
a
ïîñòðîèòü íå óäàñòñÿ.
Èíòåãðèðóÿ (3.10) ïî y, ïîëó÷àåì
Cyz
y
adxdy
z
adx dy ady C z
yzx
1 3
(,) ()
=
+
++
∫∫∫∫∫
∂
∂
∂
∂
, (3.11)
ãäå C
3
(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîëàãàÿ äëÿ ïðîñòîòû Ñ
3
=0
è ïîäñòàâëÿÿ (3.11) â (3.8à), ïîëó÷àåì ïîñëåäíþþ êîìïîíåíòó
A
z
èñêîìîãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
.
Çàìå÷àíèå. Ââèäó îòíîñèòåëüíîãî ïðîèçâîëà âûáîðà âåêòîðà
ρ
A
,
âìåñòî óñëîâèÿ A
x
= 0 ìîæíî ïîëîæèòü A
y
= 0 èëè A
z
= 0.
Òîãäà óðàâíåíèÿ (3.7), à çíà÷èò è âñå íàéäåííûå
êîìïîíåíòû âåêòîðà
ρ
A
áóäóò äðóãèìè, íî âñå ðà-
âåíñòâà (3.6) áóäóò âûïîëíåíû è â ýòîì ñëó÷àå. Èíîé
âèä âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
ρ
A
ïîëó÷èòñÿ è â âàðè-
àíòå, êîãäà â (3.8) ïîëîæèòü Ñ
1
= 0, à Ñ
2
èñêàòü êàê
ðåøåíèå (3.7à).
Ïðèìåð 3. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
ρ
A
ïîëÿ
ρ
ayz= {,,}0
.
Ðåøåíèå. Òàê êàê
div
ρ
a = 0
, òî ïîëå
ρ
a
ñîëåíîèäàëüíî. Óðàâ-
íåíèÿ (3.6) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
â íàøåì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä:
îòñþäà
                    ∂C1( y, z ) ∂          ∂
                                 ∂y ∫ y
                               =     a dx + ∫ az dx + ax .                   (3.10)
                       ∂y                  ∂z
      Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (3.10) íå çàâèñèò îò x.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü åå ïî x è ó÷åñòü, ÷òî
    ρ
div a = 0 :
                           ∂  ∂ a dx + ∂ a dx + a  =
                           ∂x  ∂y ∫ y  ∂z ∫ z
                                                 x
                                                   

                                             ∂a  ∂a  ∂a ∂a
     = ∂  ∂ ∫ a y dx + ∂  ∂ ∫ az dx + x = y + z + x = 0 .
       ∂y  ∂x          ∂z  ∂x           ∂x   ∂y  ∂z  ∂x
                                  ρ
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè div a ≠ 0 , òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë äëÿ
     ρ
ïîëÿ a ïîñòðîèòü íå óäàñòñÿ.
    Èíòåãðèðóÿ (3.10) ïî y, ïîëó÷àåì
                        ∂                   ∂
         C1( y, z ) = ∫  ∫ a y dx dy + ∫  ∫ az dx dy + ∫ ax dy + C3( z ) , (3.11)
                         ∂y                ∂z      
ãäå C3(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîëàãàÿ äëÿ ïðîñòîòû Ñ3 = 0
è ïîäñòàâëÿÿ (3.11) â (3.8à), ïîëó÷àåì ïîñëåäíþþ êîìïîíåíòó
                                            ρ
Az èñêîìîãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A .
                                                                      ρ
Çàìå÷àíèå. Ââèäó îòíîñèòåëüíîãî ïðîèçâîëà âûáîðà âåêòîðà A ,
                  âìåñòî óñëîâèÿ Ax = 0 ìîæíî ïîëîæèòü Ay = 0 èëè Az = 0.
                  Òîãäà óðàâíåíèÿ (3.7), à çíà÷èò è âñå íàéäåííûå
                                          ρ
                  êîìïîíåíòû âåêòîðà A áóäóò äðóãèìè, íî âñå ðà-
                  âåíñòâà (3.6) áóäóò âûïîëíåíû è â ýòîì ñëó÷àå. Èíîé
                                                ρ
                  âèä âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A ïîëó÷èòñÿ è â âàðè-
                  àíòå, êîãäà â (3.8) ïîëîæèòü Ñ1 = 0, à Ñ2 èñêàòü êàê
                  ðåøåíèå (3.7à).
                                                                ρ
      Ïðèìåð 3. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ïîëÿ
 ρ
a = { y , z ,0} .
                                 ρ             ρ
      Ðåøåíèå. Òàê êàê div a = 0 , òî ïîëå a ñîëåíîèäàëüíî. Óðàâ-
íåíèÿ (3.6) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà
â íàøåì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä:



                                         75

Страницы