Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 77 стр.

                                                            ρ
    Ïðèìåð 4. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ñîëåíîèäàëüíîãî
     ρ
ïîëÿ a = { y , z ,0} èç ïðèìåðà 3.
    Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì ôóíêöèþ ïîä èíòåãðàëîì (3.14):
                            ρ ρ ρ
                            ex ey ez
         ρ           ρ                       ρ          ρ                   ρ
       t(a( M ′ ) × r ) = t ty tz 0 = t 2 z 2ex − t 2 yzey + t 2( y 2 − xz )ez .
                             x  y z
Òîãäà
                    ρ            1
                   A( x, y, z ) = {z 2,− yz, y 2 − xz} .
                                 3
Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëó÷èëñÿ íåñêîëüêî áîëåå ãðîìîçäêèì,
÷åì (3.13), íî óðàâíåíèþ (3.5) îí óäîâëåòâîðÿåò.
     Ïîêàæåì, ÷òî âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû (3.13) è òîëüêî ÷òî
íàéäåííûé îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà ãðàäèåíò íåêîòîðîé ñêà-
ëÿðíîé ôóíêöèè ψ, ò. å. ÷òî èõ ðàçíîñòü
                   1 2 2         1        2 
                    3 z , 3 yz,  3 y 2 + 3 xz  = ∇ψ .
                                                  
Ïîñêîëüêó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ òàêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ÿâëÿåò-
ñÿ îäíîñâÿçíîé, òî äëÿ ïîòåíöèàëüíîñòè ýòîãî ïîëÿ äîñòàòî÷íî,
÷òîáû åãî ðîòîð áûë ðàâåí íóëþ. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî òàê.
Âïðî÷åì, ýòîò ðåçóëüòàò ñëåäóåò è èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ
         ρ    ρ    ρ ρ               ρ        ρ
ïîëåé A1 è A2 rot( A1 − A2 ) = rot A1 − rot A2 , à åñëè îáà îíè ÿâëÿþòñÿ
                                                               ρ
âåêòîðíûìè ïîòåíöèàëàìè îäíîãî è òîãî æå ïîëÿ a , òî ïîëå
  ρ ρ
( A1 − A2 ) áåçâèõðåâîå, à çíà÷èò, îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå
 ρ ρ
 A1 − A2 = ∇ψ .

                                   Çàäà÷è
        3.18. Òî÷å÷íûé ýëåêòðè÷åñêèé (èëè ìàãíèòíûé) äèïîëü
              ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå
              (èëè ìàãíèòíîå) ïîëå
                               ρ ρ     ρ
                          ρ   (p⋅r) ρ p
                          a =3 5 r − 3 ,
                               r      r



                                      77