Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

79
ρ
B
i
y
x
=−
µ
πρρ
0
22
2
0,,
,
ãäå
ρ
2
=x
2
+ y
2
,
µ
0
— ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Äîêàçàòü
ñîëåíîèäàëüíîñòü ýòîãî ïîëÿ è ïðîöåäóðîé (3.7)—
(3.11) ïîñòðîèòü åãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë.
3.28. Áåñêîíå÷íî äëèííàÿ ïðÿìàÿ íèòü, ïðîòÿíóòàÿ âäîëü
îñè z, íåñåò çàðÿä, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé ïî
åå äëèíå ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ γ. Òàêàÿ íèòü ñî-
çäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
ρ
E
x
y
=
γ
πε ρ ρ
2
0
0
22
,,
,
ãäå
ρ
2
=x
2
+ y
2
, ε
0
— ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Äîêà-
çàòü ñîëåíîèäàëüíîñòü ýòîãî ïîëÿ è ïðîöåäóðîé (3.7)—
(3.11) ïîñòðîèòü åãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë. Âû÷èñ-
ëèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë òàêæå ïî ôîðìóëå (3.14).
Çàìå÷àíèå. Íà ïðàêòèêå äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ
ïîëåé íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
íå ïðèìåíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó òàêèå ïîëÿ ìîãóò áûòü
îïèñàíû áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì — ñ ïîìîùüþ ñêà-
ëÿðíîãî ïîòåíöèàëà.
3.29.  áåñêîíå÷íîì ïî îñÿì y è z ñëîå, îãðàíè÷åííîì
ïëîñêîñòÿìè x=d è x=-d, â íàïðàâëåíèè îñè z òå-
÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ìàãíèòíîå ïîëå ýòîãî òîêà
èìååò âèä
−
=
при 00
при 00
при 00
0
0
0
},d,{j
},d,{j
},x,{j
B
µ
µ
µ
ρ
,
,
,
dx
dx
dxd
−<
>
≤≤−
ãäå j — ïëîòíîñòü òîêà â ñëîå, µ
0
— ìàãíèòíàÿ ïîñòî-
ÿííàÿ. Ïîêàçàòü, ÷òî òàêîå ïîëå
ρ
B
ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîè-
äàëüíûì, è ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû (3.7)—(3.11) ïî-
ñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ýòîãî ïîëÿ âíóòðè è
âíå ñëîÿ, íåïðåðûâíûé íà åãî ãðàíèöàõ.
                  ρ µi y x 
                  B = 0 − 2 , 2 ,0 ,
                      2π  ρ ρ 
      ãäå ρ = x + y , µ0 — ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Äîêàçàòü
           2    2   2

      ñîëåíîèäàëüíîñòü ýòîãî ïîëÿ è ïðîöåäóðîé (3.7)—
      (3.11) ïîñòðîèòü åãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë.
3.28. Áåñêîíå÷íî äëèííàÿ ïðÿìàÿ íèòü, ïðîòÿíóòàÿ âäîëü
      îñè z, íåñåò çàðÿä, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé ïî
      åå äëèíå ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ γ. Òàêàÿ íèòü ñî-
      çäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
                  ρ    γ x y 
                  E=             , ,0
                      2πε0  ρ 2 ρ 2  ,
      ãäå ρ2 = x2 + y2, ε0 — ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Äîêà-
      çàòü ñîëåíîèäàëüíîñòü ýòîãî ïîëÿ è ïðîöåäóðîé (3.7)—
      (3.11) ïîñòðîèòü åãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë. Âû÷èñ-
      ëèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë òàêæå ïî ôîðìóëå (3.14).
      Çàìå÷àíèå. Íà ïðàêòèêå äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ
      ïîëåé íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
      íå ïðèìåíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó òàêèå ïîëÿ ìîãóò áûòü
      îïèñàíû áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì — ñ ïîìîùüþ ñêà-
      ëÿðíîãî ïîòåíöèàëà.
3.29.  áåñêîíå÷íîì ïî îñÿì y è z ñëîå, îãðàíè÷åííîì
      ïëîñêîñòÿìè x = d è x = -d, â íàïðàâëåíèè îñè z òå-
      ÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ìàãíèòíîå ïîëå ýòîãî òîêà
      èìååò âèä

             µ j{0,x,0} при − d ≤ x ≤ d ,
         ρ  0
         B = µ0 j{0,d ,0} при  x > d,
             µ j{0,−d ,0} при x < − d ,
              0
     ãäå j — ïëîòíîñòü òîêà â ñëîå, µ0 — ìàãíèòíàÿ ïîñòî-
                                       ρ
     ÿííàÿ. Ïîêàçàòü, ÷òî òàêîå ïîëå B ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîè-
     äàëüíûì, è ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû (3.7)—(3.11) ïî-
     ñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ýòîãî ïîëÿ âíóòðè è
     âíå ñëîÿ, íåïðåðûâíûé íà åãî ãðàíèöàõ.




                         79

Страницы